我们具有算术知识吗？在密尔看来，算术知识源于经验，他认为我们获得算术知识的能力是由数石子这样的行为发展而来的。可是，即便密尔的解释可以说明我们算术能力的形成机制，对于给出一种充分的算术知识说明来说这显然是不充分的。另一种观点则认为我们的算术知识可以还原为逻辑，弗雷格尝试给出数概念的定义，一旦我们可以把握数的概念，我们就可以通过逻辑推导得出各种算术命题。但是弗雷格将数和算术还原为逻辑的计划依赖于休谟原则，即概念F下事物的数等于概念G下事物的数当且仅当概念F下的事物和概念G下的事物有一一对应关系。这一原则连接了数和概念的外延。必须依靠休谟原则，我们才能将数理解为弗雷格所说的概念。弗雷格对数的分析看似将数和算术还原为逻辑，事实上仍然会面临需要引入非逻辑的对数的直观的问题。引入抽象对象存在性的数学柏拉图主义观点避免了在密尔那里出现的问题，也让我们不限于逻辑解释，可以借助数学事实的存在而给出对算术知识的完整说明。然而，贝纳塞拉夫指出，我们对于数学真理的说明面临一个两难困境：我们无法在认为数学真依赖于抽象的数学事实的情况下，同时给出一个关于如何认识到这些事实的合理说明。针对数学中的算术知识，我们可以将贝纳塞拉夫的论证重构为：(B1）如果命题信念B是真的，那就意味着存在着对应的事实FB。(B2）根据知识的因果理论，除非我们给出一个因果解释说明事实FB和我们获得信念B的关系，否则我们将不能表明我们具有关于事实FB的知识。(B3）算术知识与关于数的事实相关，关于数的事实是非因果的。(B4）由于（B3），我们无法给出一个因果解释，说明我们获得算术信念和数的事实之间的关系。(B5）由于（B2）和（B4），我们不具有算术知识。
该论证表明，缺乏因果解释意味着我们不具有关于数的事实的算术知识。菲尔德进一步指出，贝纳塞拉夫问题的要点并不在于缺乏如何认识抽象数学事实的因果说明，而在于我们缺乏一种解释来说明我们对这些非因果的抽象对象的信念的可靠性。信念的可靠性可以表述为：如果我们关于某个领域的信念是可靠的，意味着经由我们获得这些信念的方法，如果不存在事实F，我们便不会持有信念BF；如果事实F发生改变，我们也会持有不同的信念BF。
从上述的可靠性条件当中，我们可以看出，若我们可以表明事实F和获得信念BF之间存在因果链条，我们就可以表明信念BF的可靠性：如果在事实F和认知主体获得信念BF间存在一个因果链条，那么，假若事实F不存在，认知主体便不会持有信念BF；假若事实F发生改变，认知主体就会持有不同的信念BF。在本文中，我试图对数采取一种结构主义式理解，表明我们具有算术知识。我将在第二节阐述我所说的结构主义。在第三节，我会给出这一观点下的算术知识的认识论说明，其包含两个部分：第一部分引入模式识别的解释，表明我们思维中的结构概念和物理世界的因果联系；第二部分则尝试表明我们如何可以先验地获得关于算术结构的知识。最终，通过将模式识别同先验知识结合，我将表明这一说明可以满足说明算术知识的条件。
按照传统数学柏拉图主义观点，数被视为独立的抽象对象，关于数的算术知识与这些抽象对象的性质相关。不同于传统的数学柏拉图主义，结构主义并不把数理解为独立的抽象对象，而是理解为序列结构中的位置，数的性质也就意味着一系列由关系决定的性质，相应地算术知识也就是关于这一序列结构事实的知识，如何认识算术事实的问题就变为了如何认识序列结构的问题。在这一观点下，说明可靠性也就是说明我们具有的算术信念跟序列结构事实间的关系：当这些信念可以可靠地反映序列结构事实时，我们持有的算术信念就可以被称为知识。为了表明我们具有算术知识，我们可以采取如下论证：(AK1）（本体论预设）存在着关于世界如何构成的结构事实。(AK2）（数学结构主义）算术事实是序列结构事实。(AK3）（结构的因果解释）由（AK1）和（AK2），认知主体获得算术信念与序列结构事实之间可以有一种因果解释。(AK4）（可靠性说明）在（AK2）和（AK3）的条件下，我们可以拥有一种可靠的获得算术信念的方式。
下一节将给出一个因果解释，表明（AK3）可以成立；而由于结构的一致性，我们可以凭借先验方法扩充我们的算术信念，表明（AK4）成立，最终表明我们具有算术知识。
柏拉图式结构主义将我们识别出的结构概念视为具有独立本体论地位的结构事实，即世界的结构，我们可以尝试在这样一种观点下给出一个因果说明。对于从外部世界中识别出结构这一抽象的过程，我们并不陌生：我们可以识别出不同个体间共同的特性并呈现于思维之中，也可以将物体具有的属性和物体本身区分开来。我们的算术能力依赖于这样的抽象能力，一些经验研究表明了这一点。为了表明我们如何能够认识结构，夏皮罗提出了一种被称作“模式识别”的解释。首先，我们拥有识别符号的能力，我们具有能够识别出不同的对象在特定分类下属于同一类别的能力。除了能够将不同的对象识别为相同的概念，我们还能够识别这些对象具有的模式，获得结构概念。通过这样一种模式识别的过程，认知主体可以从经验材料当中抽象出结构，认识到特定对象中或对象间具有的结构。除此之外，我们思维中的结构概念和外部对象结构之间的对应关系也得以建立。这种对应关系就是算术信念和结构事实的因果解释的基础。这一解释能够提供算术信念的可靠性说明。例如，我们可以通过获得算术信念的惯常方法（运算）获得“5!=120”这一信念。该信念代表了序列结构的一个特定事实，而这一结构事实也会由于世界的结构而被特定的事物呈现出来。我们可以通过数数的方式，将通过运算获得的信念同外部的复数个体进行比对。这一种比对为可靠性说明提供了可能。通过上面的讨论，我们可以看出，基于模式识别的说明为算术知识提供了一个因果说明，这一说明表明我们的算术信念是可靠的。但是，目前的解释似乎只能说明部分算术信念的可靠性，以及提供了关于我们的算术信念为什么可以应用到经验世界当中的一个说明。有两个理由表明我们为什么还需要算术知识的先验说明：第一，算术中有很多复杂的运算，并且其中涉及我们在现实世界中很难找到实例的非常大的数，关于这些数的算术信念显然不是通过经验得出的；第二，认知科学的研究指出我们的数感具有进化基础，但是对人类数感的完整解释还会包含文化和学习等非进化的成分。因而，需要经验参与的模式识别并不是对算术知识的完整说明，而只是我们能够认识到算术结构事实的前置条件。接下来，我将说明通过先验的方式认识算术结构是何以可能的。不妨将先验性定义为：假若认知主体不需要经验的参与就能获得关于某一领域的信念，那么这些信念就是先验的。我们已经提到，在结构主义观点下，算术知识就是关于序列结构事实的知识。作为先验知识的算术知识是可能的。皮考克认为个体化条件是我们能够使用概念的基础，通过对给定种类的抽象对象的谈论而得到阐明的结构，是通过这一类特定对象的个体化条件而得到阐明的。数的概念可以经由对数的个体化得出，其形式为：使得某物是数0就是有一个数n使得对于一个任意的概念F，有n个F就相当于没有F。使得某物是数1就是有一个数n使得对于一个任意的概念F，恰好有n个F就是有某物满足F，并且只有一个这样的事物使得命题∃x(Fx&(y）（若Fy，那么y=x））为真。
同样，对于任意有限数n，我们都可以给出个体化数n的条件，由于个体化条件使得我们能够区分不同的数。进一步地，藉由个体化条件，我们可以通过后继的方式定义自然数的加减法，同时也可以定义乘法。个体化条件并不涉及对于实体的本体论承诺。也就是说，个体化条件可以应用于存在着的物体，也可以不涉及任何关于实际存在物的讨论。但是，对于算术领域来说，不具有背景结构的数将失去很多性质，而这些性质对于我们理解数是很重要的。我们如何仅仅根据个体化条件来判断是否具有“是偶数”这样的性质？我们仅仅能够区分不同的数，但是“n+1不同于n”并不等同于“n+1比n多1”，我们必须事先假定数之间具有某些关系。另一方面，该观点同样面对ω序列的存在性问题。个体化条件并不包含任何关于实在对象的本体论预设，我们可以概念性地设想无穷多个数，但是，就像在一些非实在论观点中那样，我们如何能够把握数的全体？因为我们对数进行个体化是一种概念的建构，这种概念并不要求有任何具体对象和其对应，只是我们为了区分不同数而持有的形而上学立场。我们可以将这样一种基于个体化条件的对数的理解和结构主义观点结合：结构主义把数视为序列结构中的位置，而每个位置都是通过其与其他位置的关系得到确定的。只要我们可以区分不同的数，我们就可以进一步得出这些概念更为丰富的内涵。这些内涵并不是蕴含在语言对数字的使用当中，而是蕴含在数的概念当中。不过要注意，这并不意味着语言在我们对结构的认识中不发挥作用。因为个体化条件包含了序列结构所要满足的形而上学约束，我们便得以非任意地扩展我们具有的结构概念。除此之外，夏皮罗给出了一种被称作隐定义的探究结构的方式。隐定义是通过对结构整体的描述而无需给出某一概念具体的形式的定义，它使我们可以在没有呈现结构实例的情况下把握一个结构。个体化条件和隐定义为说明我们可以先验地获得关于结构的知识提供了理论基础。上图表明了作为结构事实的算术事实和我们持有的算术信念的因果联系，以及为什么通过先验扩展得到的算术信念能够被认为是可靠的，（AK4）成立，因而表明了我们能够具有算术知识。
通过引入一种结构主义观点，本文尝试找到一个因果链条来说明算术事实和算术信念间的关系：世界具有结构，结构使得实体呈现出特定的模式，我们通过模式识别的方式识别出这些模式的结构并在思维中呈现出序列结构的概念。随后通过算术结构的先验说明，表明我们能够获得更加丰富的关于序列结构的知识。在这种解释下，假若算术事实发生变化，由于我们所能识别出的结构也可以发生变化，我们的算术信念也会发生变化。这使得我们可以说明算术信念的可靠性，从而表明我们拥有算术知识。此外，如果世界结构的一致性并不能得到保持，本文也至少表明了有限算术知识的可能性。
本文选自《自然辩证法通讯》2023年第45卷第6期
