*本文为「三联生活周刊」原创内容

新刊出炉！点击上图，一键下单↑↑↑

今年夏天，在两场全国关注的考试中，数学都是焦点。2022年高考数学全国卷I因“难度大”饱受争议，而北京中考数学卷则因为“太简单”遭遇诟病。恢复高考40余年来，数学学科一直是基础教育的焦点。

数学的重要不言自明。20年前，人们说：“学好数理化，走遍天下都不怕。”进入新世纪以后，大数据、人工智能技术成为经济发展的引擎，数学的价值被再一次认识。但在基础教育中，人们对数学的关注大多出自它的“升学”功能，因此也产生了“刷题学数学”和“人人学奥数”的畸变景象。

尽管从小到大，我都是公认的学霸，但数学给我的感受和其他学科大不相同。数学小学三年级，作为一名“双百分”学生，我开始学奥数。那是上世纪90年代初。在湖北大学的两三百人的阶梯教室里，一位头发花白、表情严肃的大学数学老师带着孩子和家长们一起演算。

2011年7月19日，在荷兰阿姆斯特丹举办的第52届国际数学奥林匹克竞赛现场

白色的粉笔划过黑板，吱呀作响，没有在我心头激起任何波澜。我所牢记的，是炎热的夏天，屁股下的汗水，不绝于耳的蝉鸣，以及每次上完课都会有的考试。上节课考试成绩最好的40名学生，将获得在大班下课后继续上提高班课程的资格。提高班也要考试。8道题，不要求写演算过程，只要求填答案。每题10分，得到40分的同学就会被认为有在竞赛中拿奖的潜质。有一次，我稀里糊涂地进了提高班，又在提高班考试里稀里糊涂地蒙对了4道题。我至今还记得，批改完的试卷发下来，父母喜形于色。但这一切就是我对数学的最深刻的记忆了。

此后，我的数学学习经历都可以用“稀里糊涂”来概括。上初中以后，我开始越来越不能理解那些字母、代数式和符号。它们好像是遥远异国的语言。我不知道它们之间有何联系，究竟在讲述什么样的故事。于是，我的数学成绩一路下滑，全靠牢记概念公式和解题办法维持卷面的基本体面。学不懂的背后，更深层次的原因是，我根本缺乏弄明白这种语言的动力和兴致。我从未从中品尝到乐趣。而且，在奥数班，我已经见识过那些最有天赋的孩子。我想，我不是学数学的那块料，在这场寻求标准答案的竞逐游戏里，差不多就得了。

《天才基本法》剧照

离开校园以后，我正式和数学分道扬镳，迅速清空了头脑中的概念、公式和定理。偶尔，数学会出现在梦里：有时候是突然听说第二天要数学考试，更多时候是收卷的铃声响起，试卷还有大片空白。偶尔，我也会有些遗憾。几年前，我读西蒙·辛格的数学史著作《费马大定理》，心潮澎湃。我想，吸引一个又一个人物孜孜以求的是什么？传说中的数学之美又是什么？我隐约感到，在我没有打开的数学大门背后，有我所不了解的智慧。

南京师范大学附属小学数学特级教师贲友林这样描述数学在人们脑海中的印象：数学很可怕，是一张用来筛选学生的“筛子”。“很多学生只是在课堂内、考试时感觉到数学有用；走出课堂、离开考场，几乎感觉不到数学的存在。”

基础教育并不只为高考服务。我们必须要问，当一个学生离开了高考的考场，如果他未来并不进入与数学相关的专业和职业领域，那么12年数学教育的意义何在？作为一门人人必学的科目，数学究竟应当对个体的成长发挥什么样的作用？

《天才少女》剧照

新世纪以后，我国的基础教育改革发布了三版课程标准，数学作为一门学科的目标一直在调校。2001年版课标提出了“双基”：基础知识（主要是概念和法则的记忆）扎实，基本技能（主要是计算和证明的能力）熟练。这是我国数学教育的传统。2011年版课标在“双基”的基础上增加了基本思想和基本活动经验，数学教育的方向开始强调“知”的过程，从“知”走向“想”。

今年4月，《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》出台，第一次明确地提出，数学课程的目标是培养学生的三个核心素养：会用数学的眼光观察现实世界；会用数学的思维思考现实世界；会用数学的语言表达现实世界。义务教育数学课程标准修订组史宁中教授总结说，概括地说，这三句话对应的就是数学的三点能力，数学抽象、逻辑推理和数学模型，是“数学教育的终极目标”。抽象、推理和模型，是数学的产生与发展所必须依赖的思想，也应当是学过数学的人和没有学过数学的人具备的思维差异。

《美丽心灵》剧照

数学素养的养成到底应该蕴藏在怎样的数学教育里？

为了解答这个问题，在这期《三联生活周刊》的封面里，我们采访了一线的数学老师和数学教育专家。我的第一个感受是，我们需要回到数学的基础知识，理解数学的底层逻辑。《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》里的很多调整是针对小学阶段的。从知识掌握的意义上看，小学数学似乎变得更简单了。比如，小学阶段负数和方程的学习移到初中阶段。再比如，原本小学数学分为1～3年级、3～6年级两个学段，现在改为1～2年级、3～4年级、5～6年级三个学段，要求减少1～2年级数学的课时安排。

这样的调整并不是因为小学数学不重要，可以说，这恰恰是因为它太重要。素养养成，就像万丈高楼起于平地，必须让学习“慢下来”。北京师范大学国家教材委员会专家委员会委员、2022年版义务教育数学课程标准修订组组长曹一鸣指出，负数的调整是因为小学阶段负数学习仅仅停留在认识层面，学生一旦理解不好，就会对初中学习负数产生负面影响。而方程由小学移到了初中，主要是鉴于小学数学中的问题情境不复杂，数量关系也相对简单，用等量关系建立方程反而会使得思考过程变得繁琐，学生感受不到掌握这种新方法的需要，其结果是不能建立用代数解决问题的恰当思维方式。

图｜pexels

知识掌握得多，记得牢，并不意味着学好了数学。人们总说：小学学得好，未必初中学得好。为什么会有这样的分水岭？一种常见的解释是天资和个人思维发展的差异。但也存在另一种可能：人们评价好与不好，依据的是卷面成绩的变化。一个小学数学成绩很好的孩子，在初中的数学学习中遇到困难，更可能说明小学的成绩是一种假象，因为卷面考查的大多是数学知识和技能的熟练程度，并不意味着孩子真的“懂”数学。

小学数学的基础知识背后蕴藏着数学最深刻的思想。以对自然数的认识为例，人们不难让一个3岁的孩子从“1”一直背到“100”，但孩子并不真正理解数字的意义。他知道，3个苹果比2个苹果多，但并不明白为什么数字3就比2大。因为，在现实的世界里，抽象了的数是不存在的。

同样，对于一个刚刚入小学的孩子，我们可以告诉他，3在2的后面，所以3比2大，以此类推。他能够记住数字，也能够记住这样的规则，但并不明白为什么要这样规定，背后的逻辑是什么。

北京市实验二小副校长李雪峰说，认识数字6，在小学一年级要讲一节课。老师们需要先呈现最具体的物品，6个杯子、6块糖，然后引导孩子用画方块或者三角形来代表它们，最后再把这些方块和三角形转化为数字6。之所以有这样看似“笨拙”的教学设计，是因为教学目的不只是让孩子记住6，而是让他们体会从杯子、糖块到小方块，正是数学的抽象，从小方块对应到数字，是更进一步的抽象。而小方块代表具体事物蕴含符号化思想，对于整个数学学习都至关重要。

《现代生活的秘密规则：算法》剧照

数学里的“=”需要怎么教？看到等号，我的第一反应是应该在后面填上某个答案。2+3=5，等号似乎无需解释。但实际上，对等号的理解关乎两种思维。算术思维里，等号意味着2和3经过运算得到了结果5。而在代数思维里，等号代表着相等的关系。在很多教科书里，对方程的定义是：含有未知数的等式。史宁中指出，这其实只是一个形式上的描述，方程的核心就是等号，它的本质是描述现实世界中的等量关系，描述的是现实世界中与数量有关的两个故事。

李雪峰告诉我，一个老师在讲解简单的运算时就可以启发孩子们的这个思维：“当我们说3+2=5的时候，我们就在表达一个结果，但我们也可以说，3代表3个1，2代表2个1，5代表5个1，等式两边代表的数量是相等的。孩子们的理解就会不同。”

这些数学思维的建立只有不断深入概念的背后，反复体验才能获得，这并不容易。

在《欢乐数学：一本充满“烂插画”的快乐数学启蒙书》里，作者里本·奥尔林说，当他从耶鲁大学数学系毕业，成为一名中学老师时，他很快明白了数学为什么是一门不受欢迎的学科：数学本是一门瑰丽的、充满想象力和逻辑的艺术，而学校里的数学课则把这门艺术撕成一大碗碎纸屑，然后给学生布置了一项几乎不可能完成又乏味十足的任务——把这碗碎纸屑拼回去。

既然数学知识之间有千丝万缕的联系，它们如何体现在教育中，让数学课堂不再是“一碗碎纸屑”？曹一鸣指出，2022年版课标的一个变化就是对课程内容进行了结构化处理。其中的表现之一是内容的整合，比如，在小学阶段，数与代数领域由原来的6个主题整合为“数与运算”“数量关系”两个主题；图形与几何领域由原来的4个主题整合为“图形的认识与测量”“图形的位置与运动”两个主题。在内容整合的形式之下，更重要的是以数学核心内容和基本思想为主线循序渐进，强调单元的整体性，突出数学知识在不同学段的螺旋上升。

要实现这一点，对“一致性”的强调非常重要。小学中，孩子们会学习很多不同种类的数：整数、小数、分数。李雪峰告诉我，老师们常常用不同的方式来帮助孩子们理解这些数。比如，整数是从现实生活“1个梨、2个苹果”里抽象出来的；在生活里，小数可以用“3角钱就是0.3元”来理解；分数的1/3就是一个物体被分成3份，我们拿其中的一份。这些解释并没有错，但是这不够，因为“同样都是数，你会发现它们彼此之间没有发生联系”。

《高考灰姑娘》剧照

要建立联系，需要在教学中引入“计数单位”这个概念。李雪峰解释，对计数单位的认识从数数就开始了。当我们按照1、2、3、4、5……的方式数数的时候，就是在以1为计数单位计数。如果10为计数单位，数数就会变成10、20、30、40、50……那么对于一个具体的数字而言，你可以把2理解为2个1，20理解为2个10。

那么在讲解小数和分数的时候，除了结合生活情景，也应当让孩子认识到，它们也是按照计数单位“生长”的。0.3的计数单位是0.1，3/10的计数单位是1/10。

这样的“一致”除了会联系起数的认识，还会影响到对运算的认识。过去，一种数有一种数的计算方法，是数学教学的一个普遍问题。这些方法往往也没有能够解释运算的道理。当计数单位概念建立起来以后，数的运算也是相通的。比如，2+3就是2个1加3个1，而0.2+0.3就是2个0.1加3个0.1。曹一鸣经常看到有人讲分数的加减法，让孩子背“交叉线相乘”的口诀。孩子们背了口诀，不太理解这是在通分，知道要通分，也不太理解通分的道理。其实2/3和2/4无法直接相加就是因为2/3的计数单位为1/3，2/4的计数单位为1/4，计数单位不同的数字不能直接相加，通分的本质就是让计数单位相同。

在教育中展示出“一致性”，既能让孩子学会知识的迁移，学得更快，更重要的，这也是他们逐渐体悟基本的数学思维的路径。

曹一鸣给我举了个例子。小学数学有一道算筷子的题。一开始，孩子们会认识到一双筷子有两支，10个人吃饭要用10双筷子。题目会问：5双筷子加4支筷子等于多少呢？孩子可以说7双，也可以说14支。有人觉得这是在玩概念游戏，为难孩子。曹一鸣说，其实算筷子的活动也是把计数单位抽象出来的过程。小学时候的5双筷子，和中学的5a、5b、和运算中的合并同类项，背后的思想是一致的。

“数学思维蕴含在核心概念之中，”李雪峰说，“计数单位其实就是重要的核心概念，它们体现着数学最关键的部分。核心概念贯穿在整个学习的过程里，让孩子不断去加深认识和理解，从而也就加深了对数学的理解，获得一种基本的方法。”

数学特级教师、全国中考评估专家组成员、北京赫德学校初中部学术校长胡赵云经常到全国各地和老师们交流，他常常问老师们一个问题：“数学和语文一样吗？”老师们肯定会说：“当然不一样。”他又问：“那你们的数学课和语文课上得一样吗？”有人会领悟到：“想想还真差不多。”“大多数学校的所有课都是一个模板：给一个导学案，然后让学生根据导学案去看课本，看完以后把概念原理法则抄下来，看看是否记住了。”

《少年派》剧照

导学单会让胡赵云想到自己刚当老师的那些年。那时候，大家都强调培养学生的自学能力。于是，胡赵云每节课都要求学生预习。他兢兢业业刻钢板，给学生印预习题。他考虑，通过让学生阅读课本和做预习题，学会自己提炼出课本里核心的数学知识和内容。学生记住了这些知识，能够用来正确解题，那么就可以认为他们已经掌握这些知识。可是时间一长，他感到，学生的数学学得“不对”：他们能够讲出课本里的结论，但答不上来为什么得出来这样的结论。一旦遇到新的问题，就无从下手。

胡赵云看来，导学单和预习题的本质都在用“阅读的方式”学数学，通过阅读而学到的数学，学的是数学的知识、概念、原理，而不是推理、逻辑、模型这些思维方式。要学会思考，只能通过不断的思考来实现。

有一类常见的数学题：A、B两位工人一起刷墙。如果A单独工作，5小时可以完工。如果B单独工作，3小时可以完工。问：A和B一起工作，几小时可以完工？

胡赵云观察，一般老师们遵循这样的思路：A工人5小时完工，说明他一小时可以做1/5的工作。同理，B一小时可以做1/3的工作。1/5加上1/3等于8/15，那么1除以8/15就是答案。“在实际的教学里面，要让小学生都能想明白这套逻辑，其实是很难的。于是，在一些教培机构里，就会让孩子们记住一个套路：（5+3）÷（5×3）。以后有同样的题目就照着这个办法做。”

《垫底辣妹》剧照

有一次，胡赵云看到了一个国外老师的教学视频，对他的触动很大。视频里，老师问孩子这道题怎么做。有小孩回答：两个人一起做，3+5=8，所以要8小时。这是孩子的直觉。但很快就有孩子提出来，这个答案不对，因为两个人一起干活，怎么可能比一个人还干得慢？

有孩子说，那就取平均数：（3+5）÷2=4。再想想，孩子们又发现不对了：B一个人干活3小时可以完工，怎么有了A的帮助，他还变慢了呢？

接下来，老师引导孩子们继续思考：A工人5小时刷完一面墙，10小时就可以刷完两面墙，15小时刷完3面。B工人3小时刷完1面，6小时刷完2面……15小时刷完5面。在15个小时内，A和B一共刷完了8面墙，那么他们刷完一面墙的时间就是15÷8。

 “从表面上看，这样的教学，效率降低了，”胡赵云说，“但实际上，这道题目的讲解是让孩子们从已有的能力出发，让他们通过思考找到一条通往下一个层次知识的路径。在这个思考的过程里，他们不断地提出想法，又发现问题，进行修正。他们从中获得的思维能力和智慧，远远超过老师直接教授一个方法。积累了这样的训练，当他们遇到一个新的问题，他们会懂得如何找答案，如何判断自己的方向正确与否。”

鸡兔同笼的问题在几个版本的小学数学教材中都出现在高年级。而在南京师范大学附属小学数学特级教师贲友林的班上，对这样一道题目，他至少要讲2次。第一次是在二年级。

在低年级讲鸡兔同笼，贲友林的核心目的只有一个：让孩子们不惧怕思考，建立思考的信心。对于二年级的孩子来说，鸡兔同笼是很难的题目，但其实他们已经具备了解答这道题的最基本的数学能力，那就是两位数乘法。孩子们想到的主要办法之一是画图，把鸡和兔子一只只画出来。

其实，这里面老师也有功夫可做。孩子们画的鸡和兔子是非常具体的。他们会画上眼睛、翅膀、耳朵……这个时候贲友林会引导他们思考，数学的画图和美术画图是有区别的。数学的画图只关注和问题有关的条件。于是，鸡可以画成一个圈加两条线段，兔子可以画成一个圈加四条线段。这也是数学的抽象。

二年级的这堂课结束的时候，贲友林会问孩子：这个问题为什么要叫鸡兔同笼？孩子们都知道：“因为鸡和兔关在一个笼子里。”贲友林留下来了一个问题：“鸡兔同笼在书里已经有1000多年了，为什么我们要把鸡兔一起关那么长时间呢？”

《我的小学老师》剧照

小学六年级的时候，贲友林会重新讲这道题。这一次，他会请孩子想出尽可能多的解题方法。这些五花八门的解题方法呈现在课堂上之后，贲友林会让孩子们思考，它们之间的共性是什么，有什么联系。“孩子们最终意识到，他们用的这些方法其实都源自一种假设的思想。”

获得这个最终的答案为什么要经历这样漫长的旅程？“当我们直接在教学中告诉孩子，假设笼子里全是鸡或者全是兔的时候，很多孩子会说：‘老师，你很高明，这个办法很好，可是，你是怎么想到这个办法的呢？’”贲友林说，“要真正地学会思考，一定得让孩子们亲身经历从一到多、从多到一过程。”

数学的思考应该从何开始，又走向何处？胡赵云告诉我，早年，数学教学强调结果性的知识，后来开始重视过程性的知识，也就是说，学生不仅应当知道一条定理，还应该知道定理是如何证明出来的。但他认为，这样的思考还是不够。“以证明三角形内角和为180度为例。我们可以教给孩子，让他们明白要添一条辅助线，如何一步一步证明，得到这个结论。但真正关键的问题是：怎样想到在这里要画一条辅助线？为什么会画平行的辅助线？数学教师能引导孩子想出这些，孩子们才可能发展解决其他问题的能力。”

2017年胡赵云辞去在公立中学的职位，进入上海赫德学校。他希望在没有压力的环境下，尝试一种“发现数学”的教育方式。

上数学课前，学生会得到一份学习单。里面有几个板块，分别是“我知道”“我思考”“我发现”“我提问”。比如学习平行四边形，学生需要先回顾：关于三角形，你研究了哪些方面的内容？怎么研究的？关于等腰三角形，你研究了哪些方面的内容？等腰三角形的性质是如何研究发现的？接着，学生需要思考：仿照三角形研究的内容，猜想四边形会研究哪些内容？仿照等腰三角形，平行四边形又会研究什么？如何研究？然后学生会尝试总结平行四边形的定义、性质定理、判定定理。最后学生要写上在这个研究过程里，他们感兴趣的问题是什么。

更多精彩报道详见本期新刊

点击下图，一键下单

本周新刊

「什么是好的数学教育」

点击图片，一键下单纸刊！

▼ 点击阅读原文，一键下单本期新刊。