哥德尔最后的绝唱：世界是理性的产物？

2023-10-19 16:10

选自《哥德尔传》

世界是理性的产物？

一出好戏

数学界从20世纪40年代就开始盛传，经过多年的努力哥德尔已经找到了证明连续统假设和选择公理的独立性的方法。如果传言属实，那将是又一项令人惊异的伟大成就。哥德尔本人的说法与传闻的内容很像，1942年，他告诉摩根斯特恩就快要解决第一个问题了；几年后，他又说已经完成了对第二个问题的证明。在1950年的国际数学家大会上，相关消息不胫而走。但后来，满怀期待的人们却什么都没有等到。年轻的逻辑学家马丁·戴维斯于1955—1957年在高等研究院工作，他也听说了哥德尔的相关传闻，于是找到另一个年轻的学者约翰·薛帕德森，两个人鼓起勇气约见了哥德尔，想一探事情的究竟。“我记不清那次会面的细节了。”戴维斯说，“但气氛非常尴尬，离开时我们没有得到任何有用的信息。”^[1]

1963年4月，哥德尔收到了一封署名为保罗·柯文的信。柯文是一名29岁的美国数学家，在斯坦福大学工作，信的大意是他发现了哥德尔25年来苦苦追寻而不得的证明方法。柯文还在信里说他下周要到普林斯顿做一次演讲，希望能趁此机会与哥德尔见个面，私下向他解释相关的发现。^[2]

一方面，柯文为自己的发现兴奋不已；另一方面，许多杰出数学家的质疑却让他失去了自信。不胜惶恐的柯文在一个星期后又给哥德尔写了一封信，恳求后者通读一遍他的手稿，如果哥德尔能认可，柯文请求哥德尔担当这篇论文在《美国国家科学院院刊》上发表的推荐人。“简言之，我想说的其实是，我认为只有您才有资格给这项发现做‘认证’……如果我不小心冒犯了您，请您原谅我，因为我实在背负了太大的精神压力……”^[3]

哥德尔为了检验柯文的证明方法，停下了手头的一切工作。“要验证它的准确性是一件非常耗时的事。”他给母亲写信说。但当他发现柯文的方法真能解决问题且极具独创性后，他高兴得就像他自己攻克了这个难题一样。我们从中可以看出哥德尔慷慨大气和喜欢鼓励别人的亲切性格：在竞争激烈的数学领域卧薪尝胆多年，只差临门一脚就唾手可得的成果却被一个不知天高地厚的年轻人捷足先登，换作别人恐怕只会觉得心灰意冷。年轻时代在维也纳饱尝学术魅力的经历造就了他纯粹的数学审美品位，这是哥德尔从未丧失的个性品质。“阅读你对连续统假设独立性的证明文章真是一种享受。”他在给柯文的回信开头写道，“我认为不管从哪个方面说，你的证明方法都是最佳的，这么理想的情况并不常见。对我来说，阅读你的证明过程犹如欣赏一出品质上乘的戏剧，令人赏心悦目。”哥德尔随后又给柯文寄了一张字条，敦促他不要担心打磨结论的事，而应该放下顾虑和担心，考虑立刻发表论文。“你已经取得了自集合论公理化以来最重大的成就，”哥德尔再三鼓励柯文，“不要怀疑，你有充分的理由为自己欢呼。”^[4]

老蝉注：连续统假设哥德尔在1940年证明了其否定性答案，而科文（也译为科恩）证明了另一半，这样，连续统假设在ZFC中不可判定。所以，这里作者将连续统证明全部归为科文是不对的。

几年后，普林斯顿数学家、哲学家阿隆佐·丘奇为筹备给柯文颁发菲尔茨奖（数学界的最高荣誉）的典礼而找到哥德尔，并询问哥德尔对这个证明方法的提出到底做出了什么贡献。哥德尔的回答非常坦率，当年盛传他早已找到证明方法的消息“是不实的”。他还解释说，1942年他的确取得了“部分结果”，但之后很快就把兴趣转移到哲学领域的其他问题上，所以“我当时没有得出详细的证明过程，后来也没有继续研究下去”。^[5]

根据独立性证明，柯文同当今的大多数数学家一样，认为继续讨论连续统假设和选择公理（柯文后来用相同的方法证明了选择公理的独立性）是真是伪已经没有意义了，因为它们和集合论的其他公理是相互独立的，既不相互矛盾，也无法相互证明。从柯文的证明方法被提出开始，考虑或不考虑连续统假设的集合论都产生了许多有趣的结论。但不可知的论调永远无法满足哥德尔，他始终认为连续统假设可能是错误的，而且终有一天将得到证明，他还认为选择公理显然是正确的。（杰拉德·萨克斯唯一一次见到哥德尔“冷笑”，是在他听到有人否定选择公理的时候——结构主义学派的数学家大多持这种观点。“我倒是很想看看，”哥德尔冷冷地回应道，“一个把自己的一只手反绑在背后的人能搞出什么名堂。”）^[6]

在哥德尔于1963年应邀为美国哲学学会写作的一份演讲稿（这场演讲后来并未成行）里，他尖锐而彻底地驳斥了“世界的本质是一堆无序且无意义的原子”的观点。这种世界观认为怀疑论、唯物主义、经验主义和实证主义（马赫、维也纳学派和绝大部分现代科学和哲学都认同的价值观）是“左派”；而唯灵论、唯心主义、先验论和神学则是与之相对的“右派”。哥德尔毫不畏缩地把自己归入了“右派”，即使这样做会将他置于“跟时代精神完全相悖的境地”（岂止是与时代精神相悖，应该说他站到了自文艺复兴以来所有的哲学和人类知识的对立面）。^[7] 哥德尔曾对王浩说，他认为人脑是“一台有灵魂的计算机器”，它的功能不完全来自纯粹机械的演算，它是任何其他机械都无法比拟的。哥德尔偶尔还会语出惊人，着实吓到了一些来高等研究院访学的学者，比如，他不相信进化论，也不相信自然科学。这不仅是因为学科范式不同，更是因为看待事物的态度不同。哥德尔指出，从怀疑论和唯物主义的视角看，人类的知识催生了一种前景不明的厌世情绪，乃至引发人类质疑生命本身存在的意义，导致严重的虚无主义；而唯心主义和神学能让人看到“一切事物的意义、目标和它们存在的理由”。^[8]

虽然哥德尔的意思是“左”和“右”并非区分事物对错的标准，不过在谈到不完备性定理时，他总会不厌其烦地强调不应当悲观地认为它设定了数学知识的上限，而应该从唯心主义的视角去看，相信“只要是明确地以理性阐释的问题，就同样可以用理性找到明确的答案”。哥德尔曾说，如果有人认为作为数学大厦地基的那些公理只是我们随机选定的，而没有绝对的先验事实为其背书，那么说“数学不过是一种基于人造规则诞生的符号游戏”也就没有什么问题了；但是，如果数学公理代表了一类可以被人脑感知且至今都无法由机器运用规则和推导过程进行模拟的真理，那就相当于打开了不可知论的大门。^[9]对于后一种情况，哥德尔把人脑的这种理解能力称为“直觉”，不过他指的并不是布劳威尔的“直觉主义”，哥德尔想说的是这个词的字面意思，即人类具有某种感知数学事实的能力，而数学就是基于这种感知能力和感知对象的学科，正如公认的物理定律都是经验主义者依据对物理现实的直观感知建立起来的一样，两者没有本质上的区别。1964年，在未发表的《康托尔的连续统问题是什么？》修订版中，哥德尔写道：

虽然与通常所说的感知觉相去甚远，但我们无疑能够感受到集合论，并且需要主动分析而不是随意判定数学公理的真实性。我们凭借感官建立起了物理理论，目的是用它预测未发生或我们未曾经历的物理现实。既然物理学可以这样做，我不知道为什么在很多人看来对数学的感知却不能算作感知。数学直觉与普通的感知觉一样，它能让我们给眼前某个不明朗的问题赋予特定的意义，以期在未来的某一天有机会彻底弄清楚该事物的本质。集合论里的悖论的确是数学理论方面的难题，尽管抽象，但它们与物理学中可以感知的难题没有本质区别。^[10]

新的数学公理并不会严格遵循已有的逻辑规则，也无法从现有的公理推导出来，它们常常要在经年累月之后才会逐渐变得明确。哥德尔不完备性定理表明数学领域存在不可判定命题，这类命题不仅包括已经解决和证明的悖论（比如集合论悖论）及公理（比如连续统假设），也包括一些实实在在的、不太抽象的问题，而且我们的直觉明确告诉我们，这类问题属于非真即伪的二元问题（比如哥德巴赫猜想）。哥德尔有充足的理由相信，人类的“直觉能让我们不断理解和发现新的公理”，并最终解决目前悬而未决的命题。哥德尔的依据是，通过想象和构建集合论，我们得到了很多关于整数的性质，而且这些结论都能通过计算得到验证，其中一些还得到了物理学的证实。哥德尔认为这是数学公理有先验事实作为根据的最好证据，人类的直觉在这方面已经取得了颇为丰硕的成果。^[11]

哥德尔总结说，希尔伯特观点的错误之处在于，他试图在数学真理和由公理推导出的自洽的形式数学系统之间画上狭隘的等号。公理本身就是数学真理的一部分，但形式主义学派却想用它定义整个数学。公理本身无法被定义和推导，而只能源于人类直觉的感知。“无论如何，”哥德尔说道，“都不能盲从时代的潮流。”^[12]

哥德尔几乎没向任何人透露过他对上帝的真实看法，他非常清楚这些想法与时代的主流有多么格格不入。除了母亲之外，哥德尔只对摩根斯特恩有过些许暗示。1961年，哥德尔在写给母亲的信里花了很长的篇幅，表达了他相信存在“其他世界”，其中包括人死后的世界。5年后，玛丽安娜去世，享年86岁。

您在上一封信里问我是否相信我们死后能在九泉之下相见，对于这个问题我只想说：倘若这个世界是理性的创造物，而且它是有意义的，我想我们一定会在死后再见面。试想如果造物主创造了一种生物（人类），赋予他们七情六欲和天资才华，可到最后他们却连千分之一的潜力和可能性都没能发挥出来就彻底消失了，这样的世界到底有何意义呢？这就好比有人费了很多力气、花了很多钱，好不容易打下了一栋房子的地基，却又把一切推倒重来。有没有什么理由可以证明这个世界是理性的创造物呢？我相信有。因为我们生活的世界绝对不是混乱和随意的，相反，从科学的角度看，世间万物都有颠扑不破的规则和秩序……哪怕再模糊，只要生命中的际遇和生命本身有任何微妙的意义，我们就不应该把肉身的消失看作一种结束，而应视其为另一种存在的开始。^[13]

虽然哥德尔非常看不上绝大多数“胡扯”的宗教理念，但他也指出，“就连今天的哲学研究也没能让我们对宗教问题有更深刻的理解，毕竟今天90%的哲学家都认为他们的本职工作是把愚昧的宗教观念从人们的头脑里驱赶出去，但这不就是那些不好的宗教一直在做的事吗？”^[14]

1970年，哥德尔经历了自黑暗的1936年以来最严重的心理危机。一天，他精神饱满地来到办公室，滔滔不绝地告诉摩根斯特恩他完成了两个证明，一是证明了连续统的势为ℵ₂，二是在逻辑学上证明了上帝的存在。但在当年的晚些时候，哥德尔的连续统论文却被迫撤回。他本想把这篇论文发表在《美国国家科学院院刊》上，所以先把它寄给了塔尔斯基，但塔尔斯基的同事罗伯特·索洛维表示完全看不懂它的论据。“要不是这篇文章的作者是哥德尔，”索洛维回复塔尔斯基说，“我肯定会毫不犹豫地建议拒稿。”在一封没有寄出的信里，哥德尔向塔尔斯基坦承，他自己也认为这篇论文的质量“不太好”，并解释说这是因为他写这篇文章的时候过于着急，“当时我大病初愈，睡不好，还在服用会影响精神功能的药物”。^[15]

至于那篇本体论论文，它是哥德尔在1970年年初深陷偏执型妄想症期间写的。他告诉摩根斯特恩，他非常犹豫，不知道该不该发表这篇文章，因为他担心别人会因此以为“这个人相信上帝的存在”，而事实上，他坚称自己所做的只是一项“逻辑学研究”，尝试把某些经典的宗教假设以恰当的方式公理化，比如“绝对之物”。摩根斯特恩打趣道，他应该考虑用笔名发表这篇文章，不过很有可能被人抓包。牛顿在解决了伯努利的最速降线问题后，匿名发表了相关论文，但伯努利的评价是：“只要看到这只爪子，我就知道它属于哪头狮子了。”^[16]

不管哥德尔愿不愿意，彼时的他已经声名显赫了，而且不仅是在数理逻辑的小圈子里。

连普林斯顿都受不了了

哥德尔第一次在公众面前崭露头角是在1956年，他在科普杂志《科学美国人》上发表了一篇用通俗的语言解释何为不完备性定理的文章，后来市面上出现了一本篇幅不长的书——《哥德尔的证明》，这本书名平平无奇的书大获成功，成了被读者追捧的数学读物。可是，谁能想到当初它差点儿没能出版？哥德尔的行事作风丝毫没有变化，关于能否把论文原稿授权给这本小书以及需要在多大程度上保留原稿的文字和措辞，他与该书的两名作者及出版商（分别是欧内斯特·内格尔、詹姆斯·纽曼和纽约大学出版社）进行了拉锯式谈判，当他提出要亲自审阅这本书的成稿并有权“删减”任何他觉得不妥当的内容时，内格尔的火终于压不住了。最终，这本书既没有选用哥德尔论文中的文字，也没有得到他的允许。^[17] 1963年，《时代生活丛书》的数学卷用几页纸的篇幅专门介绍了哥德尔，其中还包括一张由著名摄影师阿尔弗雷德·艾森斯塔特给他拍摄的肖像照，占了整整一页。这本书的出版给哥德尔带来了更多的大众关注度。

寄给哥德尔的信件像洪水一样涌到了高等研究院，来信者有中学生和大学生，有苏格兰、南非的数学家，有建筑、航空公司的工程师，甚至还有从马里兰州巴尔的摩公共工程部门和印第安纳州特雷霍特市监狱寄来的信，他们都想向哥德尔讨要他在1934年讲解不完备性定理时用过的油印版笔记（市面上早就绝版了）。^[18] 知名媒体BBC（英国广播公司）和《纽约时报》的科学专栏作者都想采访哥德尔，正在筹备给在世的数学家拍摄纪录片的美国数学学会也给他发来了邀请，但这些都被哥德尔拒绝了。此外，崇拜者和怪咖的来信也不少。比如，一个住在威尼斯的年轻美丽的女教师给哥德尔寄了一张她的照片（她站在教室里，背后的墙上贴着一幅巨大的哥德尔肖像照），她在随照片寄来的字条上解释道，“我悬挂你这张照片的目的有两个：一是监督学生，二是激励我自己”。各路业余科学爱好者给哥德尔寄来了许多自以为正确的理论，比如，一名印度灌溉工程师认为自己解决了四色地图问题；有人寄来了奇怪的哲学论文，还有人（一名在空调公司上班的员工）想用热力学第二定律驳斥选择公理。杰拉德·萨克斯认为，哥德尔对那些擅自打电话给他并要求跟他探讨问题的怪人们表现得过于友善了。“他是个极有礼貌的人，”萨克斯评价道，“我认为他在这些怪人身上浪费了太多时间。”^[19]

哥德尔的新办公室，位于图中图书馆主楼右侧的那栋颇具现代主义风格的方形小楼里

与此同时，哥德尔与数学专业的同事们的关系越来越疏远。他从来不收学生，只有那些胆子大到敢主动去敲他办公室门的人，才有机会和哥德尔讨论逻辑学。1967年，新的社会科学图书馆落成，哥德尔的新办公室就在这栋以玻璃和混凝土为主要建筑材料的楼里一间颇具现代主义气息的玻璃房后部，窗外是池塘和树林。你可以说这间办公室很清静，也可以说它很偏僻。

然而，社会总是不太平，20世纪60年代的世界动荡不安，再僻静的办公室也无法让哥德尔安心工作。全美的大学都在搞学生运动，好在慵懒保守的普林斯顿受到的影响不大。只有个别学生赶去华盛顿参加了1965年抗议越战和扩大征兵的游行示威活动，他们拉起横幅，上面写着讽刺政府的标语：“连普林斯顿都受不了了”。（“他们说的对！”哥德尔当时如此评价学生运动。）^[20] 1970年春，普林斯顿大学的学生和教师为了抗议美国把战争扩大到柬埔寨境内，宣布罢课4天。在那个艰难的春天，长期遭受慢性焦虑和疑病症折磨的哥德尔又患上了偏执型妄想症。他幻想有一个黑色幽灵闯进了他的房间，强行给他注射药物，而他的哥哥鲁迪就是幕后黑手。与此同时，支持民主社会的激进学生堵住了普林斯顿大学一栋教学楼的入口，还朝窗户扔砖头。那栋楼是大学智库的所在地，里面有许多国防分析研究所的数学家和计算机科学家在为国家安全局工作，他们接手的都是绝密的代码破译项目，该事件最终以300名学生被警察抓走而平息。^[21]

普林斯顿大学的学生抗议者，1969年

1970年，哥德尔的精神科医生埃里克把办公室搬到了另一栋历史悠久的普林斯顿建筑内。新诊所距离埃里克原来的办公室只有一个街区，从大门进入，一楼的门廊墙上贴着古雅的木条，尽头是华美的木楼梯，除了埃里克医生的诊所外，在这栋楼里办公的还有和平教育与征兵信息基金会，以及新国会运动等反战左翼组织。一年后，麦戈文竞选办公室也入驻了这栋楼。当地报纸评论说，这些扎堆的反战组织让拿骚街163号成了“普林斯顿最有活力的地方之一”。^[22]

哥德尔坚持每周见一次埃里克医生，现在，他的焦虑和强迫症的重心又转移到妻子的健康问题上。哥德尔认为妻子的医生没能恰当地治疗她的坐骨神经痛和多神经病，导致她的病情不断恶化。1971年春，哥德尔的病情缓解了一些，于是他中止了跟埃里克医生的定期会面。摩根斯特恩又见到了他的老朋友：“跟以前一模一样”，“能与哥德尔成为朋友真是人生幸事”。1973年秋，哥德尔出席了院长为迎接研究院新成员而举办的盛大花园派对。“哥德尔表现得非常风趣。许多年轻的逻辑学家及其太太都围着他，俨然一个‘拜会偶像的小派对’。”摩根斯特恩事后在日记里写道。^[23]

1974年4月，突然发作的尿道堵塞严重影响了哥德尔的身心健康。他的精神状态也时好时坏，总是在陷入低迷的偏执型妄想症后又紧接着经历一段精神高涨的头脑清醒期，如此反反复复。病症刚发作时，哥德尔和阿黛尔经常吵架，因为他拒绝接受显而易见的诊断：医生认为他的病因是严重的前列腺肿大。摩根斯特恩非常不情愿地见证了哥德尔夫妇旷日持久的争吵。后来哥德尔终于答应去医院治疗，但依然固执地拒绝接受手术。他刚开始坚称只要服用镁乳就可以治好自己的病，在病情没有得到改善后，他又想让医生给他安一根永久性导尿管，简单粗暴地解决排尿问题。摩根斯特恩痛心疾首地说：“为什么如此天才的人却会如此固执？！”^[24]

哥德尔与桃乐茜·摩根斯特恩在研究院花园派对上的合影，1973年

永久性导尿管的植入增加了哥德尔晚年生活的痛苦。而且只要导尿管在体内，患者就有尿路感染的风险，为此，哥德尔一直私下同时服用多种抗生素。摩根斯特恩又一次被哥德尔心智上的分裂震惊了：说到医生和健康问题，哥德尔的言语中充斥着自说自话的妄想；但一谈到数学和科学，他的观点又“强大、清晰和敏锐”得令人钦佩。1975年9月，在获得美国国家科学奖章的当天，哥德尔给摩根斯特恩打了一个电话，他为自己获得这份荣誉和那枚沉甸甸的金质奖章而高兴（他本应前往华盛顿，在白宫由时任总统杰拉尔德·福特为他颁奖，但哥德尔不想忍受舟车劳顿之苦，后来金质奖章是邮寄到他手中的）。这段时间，摩根斯特恩在日记里提到哥德尔时，一方面为他固执的妄想和日益消瘦的身体而唏嘘，另一方面又经常提及他的才智和两人之间历久弥新的友谊。^[25]

但哥德尔无疑成了摩根斯特恩的负担。由于阿黛尔的身体状况也越来越差（1975年，她经历了一次轻微的胸卒中，虽无性命之忧，但此后经常卧床不起），这让哥德尔越发觉得孤单和想要依靠他人，他经常一天就要给摩根斯特恩打两三通电话。^[26] 摩根斯特恩认为，哥德尔对健康问题的满腹牢骚和他关于医生的阴谋论（有一次他告诉摩根斯特恩，他认为市面上销售的药物类书籍都是“假”的，因为医生们私下还有一个版本）是为了吸引别人的注意力，某种程度上可算是一种“哗众取宠”的行为。摩根斯特恩的妻子桃乐茜对哥德尔的评价是，他总是在行动中追求某种“戏剧感”。但即便他们能够理解哥德尔的动机，也不能完全消解他带给他们的烦恼。^[27]

1974年4月，就在哥德尔被收治入院的两天后，摩根斯特恩也拿到了一份诊断书。得知癌症已经转移至骨髓，他担心自己的结局会像好友冯·诺依曼那样全身瘫痪而亡。摩根斯特恩对健康状况不佳的哥德尔一直非常关爱和有耐心，而老天似乎有意开了一个残忍的玩笑：经过三年的手术治疗，摩根斯特恩的人生在全身瘫痪中谢幕了。^[28]

“真是彻头彻尾的悲剧，我究竟如何做才能帮到他。”摩根斯特恩在日记里写道，此时距离他本人离世（1977年7月26日）仅有两个星期，“哥德尔谁的话都不听，加上各种各样的其他原因，医生已经不愿意收治他了。然而，他却相信再过几天我瘫痪在床的情况就能好转，重新站起来开始新的生活！”摩根斯特恩临终前写了一篇关于哥德尔的备忘录，字字泣血：“这位堪称20世纪最杰出的数学家把我视为可以依靠的人……他希望得到我的帮助，而我却辜负了他……他对我的依赖（因为没有其他人可以指望，这一点再清楚不过了）让我感受到了沉重的压力。”摩根斯特恩去世当天，哥德尔打电话想找他聊聊，却意外地从桃乐茜嘴里得知了摩根斯特恩的死讯，这是他人生中最后也是最亲密的一位朋友，而现在这个人不在了。哥德尔一言不发，直到挂断电话前才勉强地挤出了一声“哦”。^[29]

摩根斯特恩去世的那个月，阿黛尔被紧急送到医院接受结肠造口手术，随后的几个月，她一直待在疗养院里。这件事成了压垮哥德尔的“最后一根稻草”。过去一年，他的精神状况已经差到极点，只在阿黛尔的强烈要求下才于1977年2月重新回到埃里克医生的诊所就诊。这次他的妄想症更严重了，比如，他坚持认为纳粹党想给他扣上一顶精神失常的帽子；国税局因为他没能依法缴纳与其工资相当的社会保障费而在追查他；高等研究院

将不再给他发放退休金；由于当初曾向纳粹政府承诺会如期返回奥地利而最后未能兑现，哥德尔认为他害得哥哥一直被关押在集中营里；他觉得在美国自我感觉良好是自欺欺人，其实美国人都讨厌他；他是个恶劣的人；给他治病的医生都是骗子；他那篇关于卡尔纳普的文章放在办公桌上，还没来得及完成就被恶灵偷走了；好友亚布拉罕·瓦尔德并没有在航空事故里丧生，他活了下来并隐姓埋名地在苏联生活。哥德尔和哥哥也闹翻了，鲁迪在1970年曾出面干涉他的决定，要求他去看精神科医生，哥德尔很可能一直对此事耿耿于怀，以至于最后跟鲁迪翻脸了。“这件事很有可能是库尔特的错。”对于两兄弟之间的不快，摩根斯特恩悲伤地写道。^[30]

埃里克医生此前就在诊疗记录里提到，他发现哥德尔只要一生病就会陷入“情绪代偿性失调”状态。也就是说，他的心智调节机制已崩溃，无法很好地处理和排解生活中遇到的压力。现在的哥德尔就像一架没有动力的纸飞机，正以螺旋下降的方式坠入抑郁和偏执的深渊。埃里克给哥德尔开了大剂量的三环类抗精神病药物，但没人知道哥德尔到底有没有服用。1977年8月28日，埃里克跑到哥德尔家，告诉他必须住院治疗，但遭到了哥德尔的拒绝，即使后来埃里克把救护车叫到哥德尔家门口也无济于事。从那以后，哥德尔单方面终止了埃里克对他进行的精神治疗。^[31]

阿黛尔不在家的日子里，热心的邻居艾德琳·费德里希主动提出，她去杂货铺的时候可以帮哥德尔捎东西，不过哥德尔想要的就只有奇迹牌面包、加州脐橙和罐装汤，而在罐装汤的价格涨了两美分后，哥德尔再也不买了。除了艾德琳，其他上门拜访的人（包括别人给他安排的看护）都被他拒之门外。^[32]

12月19日，在普林斯顿疗养院休养的阿黛尔自作主张，搭费德里希家的车回了家。高等研究院的负责人再三向哥德尔保证，阿黛尔的医疗费可以用他的保险全额报销，还设法给她安排了24小时的住家看护。直到阿黛尔回了家，高等研究院的人才得知她丈夫的病情已经发展到如此严重的地步。在阿黛尔离家的几个月里，哥德尔过着几乎完全离群索居的日子，他食不果腹，快把自己饿死了。那个秋天的大部分时候，任职于纽约洛克菲勒大学的王浩都因为有事外出而不能到普林斯顿探望哥德尔，在阿黛尔回家的两天前，他终于找到机会去看望了哥德尔，这也是两人的最后一次见面。王浩发现哥德尔思维清晰，看起来一点儿也不像病入膏肓的人。但哥德尔落寞地告诉他的朋友：“我已经失去做积极决定的能力了，现在的我只会做消极的决定。”^[33]

12月29日，阿黛尔终于说服哥德尔住进了普林斯顿医院。1978年1月14日，哥德尔在医院去世，死前他蜷缩在病床上，就像一个安静的胎儿。在他人生的最后几个星期，哥德尔一直拒绝进食。在医院出具的死亡证明上，他的死因是“由人格障碍导致的营养不良和体弱无力”。^[34]

未选择的道路

哥德尔去世一个半月后，就在遗嘱执行人向阿黛尔宣布哥德尔的遗产处置结果的一天后，她走进普林斯顿最大的一家珠宝店，购买了一枚硕大的钻石戒指和两个手镯，三件首饰总计花了15 888美元。珠宝店的老板警觉地联系了哥德尔的遗嘱执行人，后者又马上联络了高等研究院院长哈里·伍尔夫。处理哥德尔遗嘱事宜的律师强烈建议高等研究院为阿黛尔提供必要的财务指导：“我提议对她进行相关指导，而且越快越好。”^[35]

大手大脚的消费只是麻烦的开端。哥德尔去世后，阿黛尔获得了11.5万美元的现金遗产。此外，算上高等研究院发放的抚恤金，以及社会保障金和存款利息，她每年还有30 000美元的收入。但是，金钱解决不了阿黛尔的麻烦：由于喜怒无常的坏脾气，她找来做护理和家政的人都干不长。1978年年底，阿黛尔把位于普提巷的自家宅邸和邻近的一块空地挂牌售卖，自己则搬去了宾夕法尼亚州多伊尔斯敦的一家广受好评的护理中心。可是，她与那里的工作人员相处得非常不愉快，随后她不顾医生的强烈反对（医生担心她搬到那里后将无法获得所需的医疗服务）搬到了新泽西州詹姆斯堡的一个退休人员社区。阿黛尔于1981年2月4日去世，她人生的最后几年孤独而悲情，与她的丈夫相比有过之而无不及。直到咽下最后一口气，她都未能真正融入美国的生活。^[36]

阿黛尔把哥德尔留下的所有文字材料及其处置权都交给了高等研究院，但在那之前，虽然鲁迪再三央求，但是阿黛尔还是销毁了玛丽安娜和鲁迪寄给库尔特的所有信件。不仅如此，她也销毁了哥德尔与她的往来书信，迄今为止我们没有发现一封夫妇二人寄给对方的信。哥德尔留下的文字材料被放在纸箱里存储在高等研究院图书馆的地下室，一放就是好几年。箱子足足叠了6英尺高，因为过重，底部的箱子已经变了形。约翰·道森是宾夕法尼亚州立大学约克分校的数学系教授，出于对历史学和符号逻辑学的浓厚兴趣，他为了了解更多关于哥德尔的生平事迹和哥德尔论文背后的故事而奔走多年，但一直收获寥寥。他曾多次询问高等研究院是否打算对专业的研究者公开哥德尔留下的文字资料。有一天，道森终于接到了高等研究院打来的电话。高等研究院表示，如果道森有心研究哥德尔的资

料，可以正式申请成为高等研究院的访问学者。高等研究院还提出了一个附加条件，即道森在研究这些材料的同时需要对它们进行分类归档。^[37]

道森花了足足两年的时间才把哥德尔留下的堆成山的资料浏览了一遍，其中包括书信、没有寄出的信件草稿、管道工的收据、家人的照片，以及记满笔记的本子，不过那些笔记都是用加贝尔斯贝格速记法记的，非常晦涩难懂。为了破译材料里最重要的笔记，道森的妻子谢丽尔自学了加贝尔斯贝格速记法。直到哥德尔去世将近40年，才有专门的研究者开始抄录哥德尔用加贝尔斯贝格速记法记录的哲学箴言和数学笔记。

哥德尔虽然去世了，但他的名气却越来越大。1979年，美国作家侯世达的旷世奇书《哥德尔、艾舍尔、巴赫：集异璧之大成》登上畅销书榜，把哥德尔的名望推上了新的高峰。侯世达在书中以哥德尔的证明工作为引子，探讨了艺术、音乐和思想领域中的自我指涉形式。不过，这本书并没有在哥德尔身上花多少笔墨。严谨的数学证明并非哥德尔在世俗文化里占有一席之地的原因，真正对公众产生无穷吸引力的是不完备性定理的衍生观念：这个世界上存在无法被证明的真理。哥德尔的人气高涨，美国数学家、作家乔丹·艾伦伯格评价他是“浪漫主义者最喜爱的数学家”。在后现代主义反对者艾伦·索卡尔和让·布里克蒙看来，同海森堡的不确定性原理和爱因斯坦的广义相对论一样，哥德尔的不完备性定理“成了知识滥用的不竭源泉”：神学家、文学理论家、建筑师、摄影师、学术解构主义者、流行文化哲学家以及形形色色的神秘主义者，都试图借用哥德尔的理论解释各种现象，比如上帝的存在、自由意志的本质、诗歌的结构、人类的苦难等。下面这段论述的腔调就颇具代表性：“哥德尔的不完备性定理基本上证明了原罪的存在，所以祈祷和告解礼是必不可少的，永恒的未来也是真实的。”^[38]

公众对不完备性定理的解读常常让科班出身的逻辑学家嗤之以鼻，不过哥德尔本人反倒没有那么愤世嫉俗。“别人拿我的证明方法为宗教服务是可以预料的，这不过是迟早的事。”1963年，他在给母亲的信里写道，“因为只要找对了角度，两者之间的关联就说得通。”^[39]不过，不完备性定理或许是有史以来被曲解得最严重的数学理论，它给哥德尔带来了无数虚名。正所谓人红是非多，尤其是像数学这样的学科，如果数学家想获得世俗意义上的名气，这可能就是注定的结局。

而在相对专业的科学和哲学圈内，众人对哥德尔名气和影响力的评价尚未盖棺论定。虽然哥德尔生前就以物理学家和哲学家的身份为人所知，但直到去世后，他在相对论和哲学领域的研究成果才引起了越来越多人的关注，甚至超过了他生前在物理学领域取得的成就。在一场高等研究院为哥德尔举办的纪念座谈会上，院长在一张罗列了哥德尔主要贡献的纸上做了标记，他在“相对论”一项的旁边草草地写上了“不值一提”几个字，而哥德尔在哲学领域的贡献甚至没被列出来。^[40] 但40年后，为了研究哥德尔在相对论和哲学领域的观点，人们不仅组织过专门的研讨会，还出版了多本知名的专著。

无论对数学还是哲学而言，不完备性定理一直都是令人头疼的问题，但与当初的设想不同，许多时候它带来的麻烦微妙且有趣。与哥德尔同时代的人认为不完备性定理简直是数学界的“大灾难”，而随着时间的推移，数学家对它的恐惧正在逐渐消减。高等研究院的艾维·威格森是哥德尔衣钵的继承者之一，他曾说“数学还是一如既往地欣欣向荣”。威格森指出，虽然哥德尔证明了数学领域的某些重要命题（比如连续统假设）的真伪性在特定的形式系统内是不可判定的，但关于“是否存在某些有趣的数学事实，它们在任何情况下都是不可知的”这个问题，却始终没有明确的答案。哥德尔当年在证明不完备性定理的时候采用了一种自我指涉的陈述形式，这种独特的思路有非常浓厚的人为构造意味，用数学家的行话说，就是非常“不天然”。而从不完备性定理被提出至今，在数学和计算机科学领域里既符合哥德尔所说的不可判定性又“天然”的发现寥寥无几。1970年，在朱莉娅·罗宾逊等人几十年的研究工作基础上，尤里·马蒂亚谢维奇证明了对于任意整系数多项式方程，比如3x2 + 5y3 + 2z = 0，并不存在可以判定其是否有整数解的通用规则。1900年，在希尔伯特提出的亟待解决的数学问题中，“整系数多项式方程的整数解的通用判定方法是否存在”的问题排在第10位；1977年，杰夫·帕里斯和利奥·哈林顿证明了，拉姆齐定理的一个变体在皮亚诺算术系统内虽可表述但不可判定；1982年，帕里斯和劳里·卡比一起证明了古德斯坦定理具有同样的性质，它是数论领域的一个理论，与上述两个理论一样非常“天然”。相比激励数学家寻找不完备性定理的实例，哥德尔不完备性定理最实际的意义在于，它就像一块提醒数学家的指路牌：如果没有特殊理由，就不需要沿着这条曾被前人看好的死路继续走下去。^[41]

类似的情况也发生在哲学界，“世界上存在着超出人类理解能力的真理”的说法曾让哲学家惊惧和气馁，但时过境迁，今天的哲学界已不像当初那么惊慌失措了。按照哲学家罗伯特·福格林的说法（当然这是戏谑的调侃），对人类认知极限持怀疑态度的人分为两个派别，其区别只在于他们有多在意这个事实，一个是东海岸怀疑论学派，另一个是西海岸怀疑论学派。“东海岸学派承认他们的知识是有限的并深受其扰，”福格林说，“西海岸学派则正相反，他们并不为此烦恼。”^[42]‍

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哥德尔坚信他的证明恰恰说明人类的创造力是非比寻常的。他一贯的主张是，人类总能通过直觉认识到一些真理，人类认知的自洽性无须证明，哪怕最先进的计算机也难以企及。如果哥德尔的定理及由这些定理推导出的结论是正确的，就意味着能够完美复制人脑推理、学习、计划和解决问题能力的计算机将沦为无源之水，永远不可能被制造出来。在知识鞭长莫及的认知极限之外，确定性成了虚无缥缈的空谈，哥德尔深知，只有人类的精神不可替代，并且独一无二。

杰拉德·萨克斯曾对哥德尔做出了精辟的评价：“他让数学变得更有趣。”^[43] 虽然“他的哲学思想相当复古”，但他从未怀疑过这一点：只要是人脑能提出的问题，它就能够得到解决。

[1] “Interview with Martin Davis,” 567.

[2] Paul J. Cohen to KG, 24 April 1963, KGP, 1b/27.

[3] Paul J. Cohen to KG, 6 May 1963, KGP, 1b/27.

[4] KG to Paul J. Cohen, 5 June 1963, CW, 4:378 and 20 June 1963,CW, 4:382–83.

[5] KG to Alonzo Church, 10 August 1966, CW, 4:371–72.

[6] Sacks, “Reflections on Gödel.”

[7] KG, “Modern Development of Foundations,”CW, 3:375, 381.

[8] Wang, Logical Journey, 192–93; Goldstein, Incompleteness, 31–32;KG, “Modern Development of Foundations,”CW, 3:375.

[9] KG, “Modern Development of Foundations,” 379, 381.

[10] KG, “Cantor’s Continuum Problem,” supplement to second edition,CW, 2:268.

[11] KG, “Cantor’s Continuum Problem,” supplement to second edition, CW, 2:268–69; KG, “Modern Development of Foundations,”CW, 3:385.

[12] KG, “Modern Development of Foundations,”CW, 3:381, 383.

[13] KG to MG, 23 July and 6 October 1961.

[14] KG to MG, 6 October and 12 September 1961.

[15] OMD, 4 August and 29 August 1970; CW, 3:405, 424.

[16] OMD, 29 August 1970.

[17] CW, 5:135–44.

[18] IAS, School of Mathematics, Faculty Files.

[19] Interview requests, KGP, 4c/50; Elinn Definbaugh to KG, [1]December 1971, KGP, 4c/2; crank correspondence, KGP, 14a/18–20;Sacks, “Reflections on Gödel.”

[20] “ ‘Even Princeton’ Travels to Protest: SDS Attends Washington Rally,”Daily Princetonian, 30 November 1965, 1; KG to MG, 21 October 1965.

[21] “Brick is Hurled,”Daily Princetonian, 7 May 1970, 5; “Protesters Yield to Restraining Order,”Daily Princetonian, 12 May 1970, 1.

[22] “Valentines,”Princeton Town Topics, 10 February 1972, 33.

[23] OMD, 15 December 1971, 1 January 1972, 11 October 1973.

[24] OMD, 7 April 1974.

[25] OMD, 17 and 20 September 1975.

[26] OMD, 23 February 1976, 6 September 1975.

[27] OMD, 6 February 1970, 12 April 1974.

[28] OMD, 9 April 1974.

[29] OMD, 11 July 1977; Oskar Morgenstern memorandum on Kurt Gödel, 10 July 1977, quoted in Dawson, Logical Dilemmas, 251; Thomas,OH, 13.

[30] Dr. Philip Erlich File on Kurt Gödel, KGP, 27/1; OMD, 12 February 1976, 1 January 1977, 11 June 1976.

[31] Dr. Philip Erlich File on Kurt Gödel, 12 June 1970, 28 August 1977, KGP, 27/1.

[32] Adeline Federici interview, W&B, 246; Dawson, Logical Dilemmas, 252; Wang, Reflections on Gödel, 133.

[33] Minot C. Morgan, Jr., to Dr. Woolf et al., 19 December 1977,IAS, Faculty Files, 1951–1977; Wang, Reflections on Gödel, 133.

[34] Wang, Reflections on Gödel, 133.

[35] Samuel M. Kind to Adele Gödel, 3 March 1978, and Homer R.Zink to Carl Pope, 14 March 1978, IAS, Faculty Files, 1978–1981.

[36] Homer R. Zink to Adele Gödel, 2 March 1978, ibid.; Dawson,Logical Dilemmas, 258.

[37] John Dawson, OH, 3–8.

[38] Sokal and Bricmont, Fashionable Nonsense, 176; Ellenberg,“Does Gödel Matter?”; Raatikainen, “Relevance of Gödel’s Theorems,”528–29.

[39] KG to MG, 20 October 1963.

[40] Memorandum on KG’s “Work,” reproduced in GA, 151.

[41] Wigderson, “Gödel Phenomenon,” 475–76; Hoffmann, GrenzenderMathematik, 52–53.

[42] Fogelin, Tightrope of Reason, 97.

[43] Sacks, “Reflections on Gödel.”

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来源: qq

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