说谎者悖论（Liar's Paradox), 从最简版分析起。
说谎者悖论（Liar’s Paradox）又叫Epimenides paradox，最早出自公元前6世纪，古希腊克里特岛的哲学家埃庇米尼得斯之口：“所有克里特人都是说谎者。”
稍一思索，我们就不由想问，那么这位智者他本身是不是在说谎呢？
其实中国也有自己的说谎者悖论：“道可道，非恒道。名可名，非恒名。”这两句话本身，算不算denote 了“恒道”和“恒名”呢？
因为说谎者悖论和罗素悖论本身，名列最难解的悖论之列，下面我们先从最简化的版本开始分析起。
Liar’s Paradox 最简版：
S1: 这句话是错的。（This sentence is false。)
我们可以看出，以上这句话我们不知是该取真值（True)还是假值（false)。如果取真值，那么这句话不真（not true)，如果取假值，那么这句话又不假(not false)。
根据逻辑规则，我们可以推断出，S1既不真也不假。下面的推断不想看也可以略过。
If ~p—>p, then p. （law of clavius: 如果一个命题的negation能推出命题本身，那么命题本身不为假。)
将~p代入p，我们又可以得出
if p—>~p, then ~p．
于是一句话既不真又不假，so what？怎么就成悖论了呢？
这里，我们似乎有一种直觉判断：所有句子要么取真值，要么取假值(bivalence)。
但当然我们很容易能找出反例，比如疑问句/反问句和祈使句就不能被赋真假值。比如我上面说：so what? （那又咋样呢？）我们就没法给这句子赋真假值。或者我们说：就这样吧！这个句子我们也不知该是真值还是假值。
那么排除了带问号和带感叹号的句子，所有带句号的句子，也就是陈述句（declarative sentence)应该能符合要么取真值，要么取假值的标准吧？然而，我们也可以举出关于陈述句的反例：
S2: 美国国王是秃头。
那么上面这句话是真是假呢？如果说是真，但美国不存在国王，如果是假，我们也无从判断。所以这句话虽不“矛盾”，但我们也实在不知该赋予它什么值。
我们于是又退一步问，为啥我们觉得陈述句要么是对的，要么是不对的呢？
原因在于，陈述句是我们用来描绘和反映外部世界的。当然我们可以判断错了（比如鸡有三条腿），但外部世界在同一时间，同一方面，不能又是真又是不真的。也就是无矛盾律，不止是我们对语言系统的要求，同时也是我们觉得真实世界（本体论：ontology)应该遵循的原则。（所以如果语言/逻辑系统不止取两值，又会怎样呢？大家如果有兴趣，下次再来写写这个。）
所以当有些句子的主语不代表(representive)外界的存在时，它们的语义有缺陷（semantic defective），我们认为它们是“错句”。
在进一步分析前，我们作一个区分：“鸡有三条腿”是错的，但它不是错句，它的主语“鸡”存在，这句话可以被清晰的赋予false一值。
这时候我们又有了两个问题：句子是“错句”怎么办？第二，为什么“错句”存在？我们要如何找到哪些句子是“错句”？
对第一个问题，我们的答案是不怎么办，我们接受简单版liars paradox不真也不假（注意不是既真又假），无法赋值。通常作法是我们把所有能赋真假值的陈述句单分出来，给它们起名叫命题（statement，propsition)。这也是一谈逻辑，大家开口就是这个命题是真的，那个命题是假的，而不是这个句子是真还是假。
第二个问题，为什么有“错”句和怎样找到它们。
对于这个问题，有一派的说法可以解释最简版的说谎者悖论（S1)。他们认为，判断一个句子的对错，不在于句子本身，而在于句子之外。
当我们说一个句子是“对”（true)的时，我们是在肯定(assert)它。
比如我们说：雪是白的。我们回应说：对哒！或者有人说“绿树是红色的”，我们说：这不对！
然而当我们还不理解“对”是什么意思时，不能一上来就判断：“雪是白的”是对的，这句话是对是错。
也就是学会判断句子对错前，我们先要有一些base sentence，本身不涉及“对”“错”的概念。如果没有这些“基本句”，我们就会陷入不知是对是错的困境。
比如我们如果造一些句子来判断对错：
句子2: 句子1是对的。
句子3: 句子2是对的。
句子4: 句子3是对的
……
句子1:句子2是对的。
像这样循环没有ground（不指向外界）的句子我们是无法判断对错的。就像：这个句子是错的，因为它没有ground，我们只能说它不对也不错。同样，“这个句子是对的”，虽然不涉及“矛盾”，但同时，它也没有被判断为是对是错的基础。
但是，以上理论只解决了最简版的Liar’s paradox，如果我们加强一下说谎者悖论：
S3: 这个句子不是真的。(This sentence is not true．)
那么根据逻辑规则，S3是同时真又不真，这是一个真正的矛盾。我们如何解决S3呢？且听下回分解。
结束前聊一些题外话。上次写了白马非马后，有些网友对逻辑等价（logical equivalence)提出了疑问。简单来说，我们在数学证明里学过，原命题（P—>Q)和其逆否命题(~Q—>~P)等价，但和其否命题~（P—>Q)，以及逆命题（Q—>P)不等价。
这里我们要理解，第一个等价是必然等价，也就是说只要是逆否命题则一定和原命题逻辑等价。但第二个不等价不能理解为必然不等价，而应该是“不是必然等价”。
例如，如果P: “雪是白的”推出Q: “雪是白的这句话是真的”，同时Q: “雪是白的这句话是真的”也可以推出P: “雪是白的”，那么我们说P与Q逻辑等值。这里不代表我们是从P推出Q，推出了Q可以推出P，而是我们可以以其它原因推出Q可以推出P。P推Q和Q推P两者不是矛盾的。
同样，我也曾经问过，如果“我在撒谎”这句话是悖论的原因在于自指，那么“我没在撒谎”这句话为什么我们不认为是悖论呢？在这里，我没有认为“我在撒谎”和“我没在撒谎”逻辑等值，而是同一个原因，应该推出同样的结果，如果推出的结果不一样，那么这个原因最起码不是最本质或唯一的原因。