薛定谔的猫和三门难题

话说爱因斯坦、薛定谔和普朗克三人参加一个电视台游戏。他们三人面前各放着一只大盒子，其中一只盒子里有一百万美金，另外二个是空盒子。

此时，三人获得百万美金的概率各为1/3。

没等主持人说话，普朗克说到：对不起，我有个数学题没解开，我不玩了。

此刻，如果普朗克的盒子不打开，那么老爱和老薛的概率还是1/3。

如果，普朗克把自己的盒子送给爱因斯坦，老爱的概率将会增加1/3，变成2/3。

以上分析应该没有毛病，不同意的请举手。

有意思的来了：

老薛不高兴了: 老普不玩了，那就是弃权，凭什么把他的盒子给老爱？上帝起码会掷骰子来决定给谁吧？

主持人觉得有道理，于是随机从老爱前面拿走一只盒子。

如果盒子不打开，二人的概率回到1/3，无异议。

如果主持人把盒子打开，发现是一只空盒子，于是问二人：反正是一只空盒子，这下公平了吗？

老薛说，不行，他原来的概率是2/3，拿走一个空盒子还是2/3，我要和老爱换盒子！

老爱狡黠的一笑：老薛啊，亏你还发明了那只猫，连这个都搞不懂。老普那只盒子在打开之前，他的概率是0和1/3叠加，打开后，空盒子的概率归零，那原本的1/3 平分给了我俩，现在你的概率是1/2， 我的也是1/2，公平。

观众纷纷站队，有的站老爱这边，有的站老薛这边。

这时，有人刚刚打开电视，只看见俩人面前各放着一个盒子，自然都支持老爱。

这是否验证了量子力学中的观察者效应：被观察对象因为被观察而发生改变？

看官，您如何站队？

这等同于主持人不知情的情况

对，我想指出的正是

主持人完全随机行为或故意选择空盒子，结果会完全不同。

主持人知不知情, 所得概率是不同的, 这是很有深意的

整理一下: A, B, C 3个盒子, 其中之一有钱.

你选A, 概率1/3.

主持人知情, 打开空盒B, C盒的概率是2/3

主持人不知情, 打开空盒B, C盒的概率是1/3 (或此时A, C都是1/2)

其深意在于, 主持人知情, 是一个信息, 它会影响概率. 即使我们不知道主持人所见到的, 我们也可以利用这个信息提高C的概率.

但是目前的概率定义没法利用这部分信息, 这不仅导致了此类问题的困惑, 关键是忽视了概率与信息的关系. 传统的概率重视条件概率, 其实条件概率的本质是条件所携的信息对概率的影响. 

如果能认识的这一点, 你就能很快地理解马尔科夫性质 ( 或条件独立 ):

对于A的概率P(A)来说, 如果条件C所携带的信息已经包括在条件B里, 那么P(A|B, C) = P(A|B), 此时称A与C在B条件下独立, 其意义就是C的信息对A没有进一步的影响(已经包含在B里了). 这是机器学习里常见的简化手段, 其作用是排除那些我们已经考虑到了的信息.

马尔科夫用一只跳来跳去”没有记忆”的青蛙来解释马尔科夫性质,他是天才,他的解释也只有天才才能懂.但如果你从信息对概率的作用看,就是青蛙下一次要往哪跳,这个概率只取决于它当前的信息, 它以前跳过的信息对它当前的决定没有影响.

如果能找到一个条件X,它包含了所有对A有影响的信息,这个X就是马尔科夫毯,此时A的概率就不会再改变了.

如果主持人打开的是百万盒子，老普要怎么办：）

主持人不知情 怎么保证开空盒？什么是相应的游戏规则，当主持人开出奖盒。

不用那么复杂

主持人不知情，去除空盒B后，它原先所有的1/3概率被Ac平分，各为1/2

如果知情故意去除空盒，1/3概率全归C，AC概率分别为1/3，2/3

所以这个问题的前提是主持人知道哪个是空盒（门），如果完全随机打开了空门

那么两边概率一样，换不换都无所谓

完全随机不保证打开空盒（门），需要相应的措施才能定义概率吧。比如平分：）

逻辑上有不自洽部分

三门游戏中，如果有一个以上参赛者，即有二位说三位参赛者，主持人是无法保证他能够永远打开一扇空门（或空盒子）滴！！

请再编一个哈哈哈

楼上，如果主持人随机打开老爱老普之一盒是空盒，老薛的赢面是2/3。

论证如下：

 

老爱与老普均为空盒的概率为1/3，只有一个空盒的概率为2/3，若主持人随机打开老爱与老普其中一盒为空，则按贝氏定理推断均为空盒的概率为1/2，一盒为空的概率亦为1/2。于是老爱老普两盒中仅一盒为空的概率为2/3·1/2 = 1/3！老薛有百万美金盒的概率是2/3!

 

同样，如果主持人随机打开两余下车羊门为羊门，则余下两门有车门的概率是 1/3:

对，所谓条件概率中的条件，就是指新的信息，有了新的信息概率才会提高。主持人瞎选，显然无新的信息。

这里的要点是主持人就是开门，不管里面有无大奖。这种情况下，重选增加不 了概率。

这就是贝叶斯公式的精意。

试求主持人随机选取第一次空盒，放回重选第二次又得空盒，求二盒中一盒为空的概率。

可能说 知情与否是两个不同的游戏 更恰当：Monty 必须知情：）