PBL精选案例：《向日葵》和数学

我上四年级的时候，根据文森特·梵高的《向日葵》创作了我自己的解读。我们的任务是选择一个著名的艺术作品和一种媒介，并在一张11×17英寸白纸上完成我们的美妙创作。在这张白纸上施展“艺术才能”之前，我并不熟悉这幅原作，也不太了解这位艺术家。我只知道梵高后来疯了，并割下了自己的耳朵这个令人震惊的事实，我决定要效仿梵高这位艺术家。（不过，我可是要留住我的耳朵的！）我记不清我们班花了多长时间完成这些艺术作品，也不记得我们在项目之前或之后做了什么。我记得的是在这个项目之前，我一直认为艺术不是我的专长，我没有能力做出好看的东西。15年后，我仍然清楚地记得我所经历的这个创作过程，以及对我这位新老师产生的影响。

我已经教了六个月11年级的数学课。我从我的经典错误和一些较为成功的课堂经验中学到了很多，我觉得我可以写一本关于新任教师的书了。不过准确的说，这本书很可能会出现在励志类的书架上。第一章：不要放弃……你很快就会满血复活的！根据我的已有经验，我发现大多数学生都讨厌数学。他们觉得数学很无聊。我觉得他们是对的。

当听到一段美妙的音乐或读到一篇伟大的作品时，大脑中的突触就会连接起来，让你有所感触、思绪飘荡并想起过去的经历。完成数学练习#1-23中的奇数题一般不会有同样的效果。就像音乐家或作家需要灵感来创作美妙的作品一样，学生也需要受到鼓励和启发才能好好学习数学。他们需要一个途径去创作、尝试、犯错，并在这个过程中不断成长。问题的部分原因在于，大多数的数学题并没有练对“肌肉”。如果我让所有学生都完成一模一样的12道数学题，题目都是类似的，都是需要根据课堂讲解的方法完成的。那他们怎么能受到启发呢？在这种情况下，学生被训练成了机器人，只会按照保罗·洛克哈特（2009）所说的“洗发水瓶上的说明”完成任务：听课、记笔记、练习、考试、丢到脑后、重复。这里的关键词是“丢到脑后”。这个过程中学生真正学到了什么呢？可能什么也没学到。如果我们只是用这个方法教学生，那么学生说的没错--数学的确很无聊！

在开学后的第二个月，我给学生们看了一道关于饼干罐里的曲奇的开放式应用题，给他们时间独立研究和思考。学生们要阅读这道题，充分读懂题目的意思，并整理解题思路：这些是已知信息的，这是我需要弄清楚的。现在的问题是我要如何得到答案呢？我记得我环顾着房间，观察学生们开始整理思路并运用他们学到的知识，每个人都希望能找到解决方案。一名学生将这些信息整理成图表，列出了已经知道的和需要找到的信息。有些学生设置变量来解题。其他人则用图片或小圆圈直观地展示题目的要素。实现最终目标的方式各不相同，但在几乎没有指导和具体方法的情况下，每个学生都得到了相似的答案。

当学生们分成小组分享他们选择的方法时，我突然意识到他们实际上很喜欢谈论数学！这是因为他们有时间在课堂上谈论自己，分享自己的想法，解释他们脑子里想了什么、尝试了什么、什么有效、什么没用。我的一个学生向她的小组解释说：“我不知道从哪里开始，所以我就开始尝试一些不同的方法。”每一次尝试失败，她会思考哪里做错了，这个过程帮她实现了目标。这就是最好的试错体验！

在小组分享方法和经验后，学生们花时间反思整个过程，并写下他们的想法。学生的思考让我深有感触的是，他们不仅总结了这项活动，还提到了他们对数学的感受--为什么数学总是让他们感到挫败，为什么会不喜欢数学。一位学生写道：“通常来说，数学对我来说真的很难。这项活动却不算太难，我觉得这是因为我不得不先弄清楚题目在说什么。我通常不会用这个方式做家庭作业。因为我必须要弄清楚我要解决的问题是什么，我明白了题目在说什么，以及我为什么要完成这个数学运算。我认为，如果每天写数学作业时，我能理解为什么要做这些数学题，就能帮助我更好地了解数学。”

我意外地发现写作在学习过程中的重要性，甚至（特别是）对我们数学学习的重要作用。写作已经成为学生学习数学的经历中不可或缺的一部分，从简短的课后反思到更详尽的数学博客。这是一种可以暂时停下来，对刚刚发生的学习过程给予价值和意义的方法。这也是一种让我快速了解学生想法，以及他们正在学习什么和如何学习的方式。

我想起四年级时效仿梵高的《向日葵》时的经历。我记得最后成品的样子、彩色粉笔的味道、我用了哪些颜色和黄色的渐变。我记得手压在纸上弄脏了画时的沮丧，还有反复尝试让花瓶完美对称的过程。我没有真正做到完全对称，但这完全影响不到整个过程所带来的价值。我记得项目结束时，我坐在教室的哪个位置以及我是多么的自豪，因为我知道我完成了这个项目。这个艺术项目中的学习过程是自然而然的，几乎没有任何指导，没有要严格遵守的步骤，没有老师轻声告诉我作品是不完美的、不完整的。

在学年之初，我以为我做到了一位机智的同事在我当学术辅导老师、未成为正式老师期间给我的明智建议：态度坚定、不要出错。我很快意识到“坚定”的部分，我做得很完美，但“不要出错”这方面就需要一些调整了。我们只关注数学题（那些糟糕、机械的数学题！）的正确答案，甚至如果答案里只是忘加了符号，就得不到分数。我是在鼓励学生忘记学习数学的过程，只关注成绩。我感觉自己很失败，而我的学生们在找不到正确答案的时候也感觉很失败。也就是在这个时候，我开始听到一些让我心痛的话，比如“我和数学无缘”、“我不擅长数学”或“我就是不喜欢数学”。

现在，就像我纠结花瓶一定要对称一样，我正在试着不要把太多的注意力放在得出正确的答案上。我调整了我的打分原则，强调数学思维而不仅仅是正确的答案。我还制定了一条“禁止使用橡皮”的规则。为什么？我们鼓励学生保留文章的草稿、初步草图和模型。那么，为什么我们要鼓励学生扔掉第一次、第二次、甚至第三次尝试解开数学题的记录呢？错误可能是暂时的障碍，但正如学生在饼干罐应用题中所发现的那样，有时错误会帮你指明想要去的方向。我希望鼓励甚至庆祝学生犯下的错误。通过具有挑战的开放式问题，学生可以将学习带去不同的方向，获得创意，以有创意的方式受挫、纠结、犯错、犯更多的错误，并拥有真正的学习体验。在这个过程中，学生写下所有的尝试、想法和问题，用纸笔记下他们的经历，并在结束时反思这些经历。

我仍然保留着当年效仿梵高的《向日葵》的作品。尽管看起来永远不会和梵高的杰作一模一样，但它有一个更重要的目的，那就是不断提醒我——我不需要花瓶的完美对称就能成为擅长艺术创作的人。同样，成为一个擅长数学的人并不需要完全正确的数学答案。随着第一学年的结束，我努力避免单调乏味，帮助我的学生参与到开放式数学题中来，创造机会，不使用“洗发水瓶”式的学习方法，而是在自由地写下作为擅长数学的人的经历时，让学生找到灵感。

Lockhart, P. (2009). A Mathematician’s Lament: How School Cheats Us Out of Our Most Fascinating and Imaginative Art Form. New York: Bellevue Literary Press.