数学家大卫·希尔伯特（1862年1月23日—1943年2月14）。图源：维基百科 一件真正的艺术作品是不朽的，关乎数论的问题亦如是。——大卫·希尔伯特
马库斯·杜·索托伊 ｜ 撰文
在探索素数之路上，黎曼做出的贡献之巨大，使他遥遥领先于这一领域的其他数学家。大约过了 30 年，才有人敢接过黎曼手里的接力棒。时间到了 1885 年。这一年似乎预示着这场接力赛要结束了。据说，有个无名小辈，不但接过了黎曼手中的接力棒，还冲过了终点线。他是一位名叫托马斯·斯蒂尔特杰斯的荷兰数学家。他宣称自己已经证明出了黎曼假设，即所有的零点都经过那条东西坐标是 1/2 的假想线。荷兰数学家托马斯·斯蒂尔特杰斯（Thomas Joannes Stieltjes，1856年12月29日-1894年12月31日）。图源：维基百科
斯蒂尔特杰斯看上去不太像个赢家。上大学时，他三次考试不及格。这使他的父亲大为失望，其父在荷兰国会任议员，还是个著名的工程师，曾负责鹿特丹码头的建造。不过，斯蒂尔特杰斯之所以考试不及格，不是因为他生性懒惰，而是因为相比于那些技术性的习题，他更愿意泡在莱顿大学的图书馆，沉浸在现实数学的世界里。斯蒂尔特杰斯最崇拜的数学大师是高斯，他也想跟上这位大师的脚步。就像当年高斯就职于哥廷根大学的天文台一样，他也在莱顿大学的天文台谋得一个职位。说到这个职位，不得不提到他那位德高望重的父亲。其父向天文台的直接领导推荐斯蒂尔特杰斯，于是他才得到了这份工作，不过他对此并不知情。当他用望远镜仰望星空时，令他浮想联翩的不是如何去测量新发现的恒星的位置，而是那些数学上的天体运动。一天天过去，他的想法逐渐成形。他终于鼓起勇气，给一位优秀的数学家写了一封信。他就是夏尔·埃尔米特，来自著名的法国科学院。埃尔米特出生于 1822 年，比黎曼大 4 岁。当时他已经 60 多岁了，是柯西和黎曼的忠实追随者，坚决捍卫他们在虚数函数上所做的工作。柯西对埃尔米特的影响，并不局限于数学领域。在青年时期，埃尔米特是个不可知论者。但是柯西这个虔诚的罗马天主教徒，在埃尔米特罹患重病身体虚弱时雪中送炭，使其皈依天主教。结果，埃尔米特脑中就形成了一种独特的数学神秘主义学派，类似于毕达哥拉斯学派。埃尔米特相信，数学是一种超自然的存在，那些平凡的数学家只是偶尔才有幸一瞥数学之真容。埃尔米特相信，这位来自莱顿大学天文台的天文学家，拥有更开阔的数学视野。因此，面对这位无名小辈投来的稿件，他给予了热情的回应。很快，他们之间就进行了一场密集的数学对话，时间长达 12年之久，往来信件多达 432 封。埃尔米特深深折服于这个荷兰年轻人的想法。尽管斯蒂尔特杰斯没有取得相应的学位，但是埃尔米特还是愿意助他一臂之力，帮他在图卢兹大学谋得教授一职。在给斯蒂尔特杰斯的一封工作信件中，埃尔米特写道：“你总是正确的，而我总是错的。”正是在这场对话的过程中，斯蒂尔特杰斯大胆地宣布，自己证明了黎曼假设。埃尔米特对这个年轻门生信任有加，当然不会无端怀疑斯蒂尔特杰斯是否真的证明出了黎曼假设。毕竟，他也在数学的其他分支做出过巨大贡献。那时候，黎曼假设还没被数学界公认为最棘手的难题之一。因此，斯蒂尔特杰斯宣布这一消息后，并没有像现在一样在数学界立刻掀起轩然大波。对于自己凭直觉发现的一些零点，黎曼既没有大肆鼓吹，也没有写下具体的证明过程。所以，这一重大发现只能淹没在他那篇 10 页的论文里，等待着新一代的数学家去发现，去领会其重要意义。尽管如此，斯蒂尔特杰斯发布的这一消息还是令人激动的，因为证明了黎曼假设，也就意味着证明了高斯素数猜想，后者是当时数论界的“圣杯”。对于 100 万以内的数字，高斯的猜想在素数统计上的误差率是 0.17%。而对于 10 亿以内的数字，误差率就降至 0.003%。高斯相信，随着统计的数量越来越大，素数猜想的误差率就会越来越小。到了 19 世纪末期，高斯的猜想已经为人所熟知了。证明了这一猜想的那个人会因此而声名鹊起，而支持这一猜想的证明当然也是引人瞩目的。当斯蒂尔特杰斯给埃尔米特写信，讨论他所做的证明时，在高斯猜想的破解上，一位数学家在 19 世纪 50 年代取得一项最大突破。他就是巴夫尼提·列波维奇·切比雪夫，来自欧拉曾经的战场——圣彼得堡。他实际上无法证明，高斯猜想和实际素数个数存在之间的误差率，是否会随着统计数量的增大而减小。但是他证明，对于 N 以内的数字，无论N 取值有多大，其误差率都不会超过 11%。高斯曾猜想，对于 10 亿以内的数，其误差率为 0.003%。切比雪夫提出的观点，似乎和高斯的猜想相差甚远。但是前者的重要意义在于明确了这一点：无论统计的数字有多大，二者之间的误差都不会突然变得过大。在此之前，高斯的猜想只是基于少量的实验证据。通过理论分析，切比雪夫首次证明对数和素数存在某种关系。不过，要想真正证明二者确实如高斯所言那样紧密联系，还有很长一段路要走。俄国数学家巴夫尼提·列波维奇·切比雪夫（Pafnuty Lvovich Chebyshev，1821年5月16日-1894年12月8日）。图源：维基百科借助最基本的方法，切比雪夫成功控制了误差率。那时，黎曼正在哥廷根大学里，沉浸在那片复杂的虚数图景中。当听到切比雪夫在高斯猜想上取得的成就时，黎曼萌生了一个念头，要助其一臂之力。证据来自他想要寄给切比雪夫的一封信。在信中，他分享了自己在这方面的心得。而从黎曼仅存的手稿中，依稀可见一些对于切比雪夫名字的不同拼写。不过，黎曼最终有没有寄信给切比雪夫，就不得而知了。不管怎样，在降低素数统计误差率上，切比雪夫此后再也没能取得任何进展。这就是为何对当时的数学界来说，斯蒂尔特杰斯宣布证明黎曼假设同样是一个令人兴奋的消息。当时还没人意识到，证明黎曼假设堪称寻得数学界的“圣杯”，但是证明高斯的猜想在当时是可圈可点的。埃尔米特迫不及待地想要看到斯蒂尔特杰斯写下的证明过程，却始终不见这个年轻人有所动静，一次次得到的答复都是证据还不够充分。此后五年时间里，面对埃尔米特的不断催促，斯蒂尔特杰斯还是拿不出新的证据来支持他提出的观点。看到斯蒂尔特杰斯一直缄默不语，埃尔米特越来越失望沮丧。忽然，他想出一个妙计，或许就能一睹他期待已久的证明之芳容，几年来的抑郁之情自然也就一扫而空了。埃尔米特向法国科学院提议，将 1890 年的数学科学大奖颁发给那个证明高斯素数猜想的人。埃尔米特回来后非常自信，觉得这个大奖正在向他的朋友斯蒂尔特杰斯招手呢！以下就是埃尔米特的计划。斯蒂尔特杰斯无须宣布破解了黎曼假设，只需要用图表来表示虚数图景的一小部分即可，也就是欧拉开辟的图景和黎曼拓展之后的边界。一言以蔽之，只要他能证明那条穿过数字 1 的假想线上没有零点，就能摘得这项大奖。每个黎曼零点在东西方向轴上的坐标，决定了高斯公式在计算上的误差。零点越靠东，误差就越大。如果黎曼假设为真，那么误差就会很小。假如所有零点都整齐排列在那条穿过数字 1 的假想线的西侧，那么即使黎曼假设不成立，高斯的猜想也可能是正确的。大赛的截止日期已过，斯蒂尔特杰斯那边还是没有传来任何动静。但是埃尔米特的计划也不算完全落空。令他出乎意料的是，他的学生雅克·阿达马参加了此次比赛。尽管从阿达马提交的论文里看不到完整的证明过程，但是他提出的观点令在场的人眼前一亮，使得他荣获这项大奖。这使阿达马大受鼓励。在 1896 年，阿达马终于成功填补了之前自己观点中的缺陷。虽然他还是无法证明所有的零点都分布在黎曼那条通过数字 1/2 的临界线上，但是至少证明了在那条穿过数字 1 的假想线的东面没有零点。数学家们终于证明了高斯素数猜想为真，这距离高斯发现素数和对数函数的关系已过了一个世纪。从那时起，高斯素数猜想就不再被称作猜想，而是被公认为素数定理。自古希腊人证明素数有无穷多个以来，这一定理是数学家在素数研究上取得的最重大的成果。尽管我们永远不能触碰到数字宇宙的无垠边界，但是阿达马证明，对于一往无前的宇宙旅行者来说，前方不会有太多变数。高斯在早期发现的实验证据不是大自然耍的一些小把戏，它们不会使人们误入歧途。如果没有借助黎曼的研究成果，阿达马就无法取得这么大的成就。他证明高斯素数猜想的灵感来自黎曼开辟的 ζ 函数图景。不过，这距离证明黎曼假设还差得远。在论文中，就其证明过程，阿达马提到，自己在斯蒂尔特杰斯面前就是班门弄斧。后者直到 1894 年去世时，依然宣称自己证明了黎曼假设。斯蒂尔特杰斯也因此位列试图攻克黎曼假设的数学家名单之首。在那个名单上，是一群德高望重的数学家，他们都宣布自己证明出了黎曼假设，但最后也都不了了之。很快，阿达马就听到一个消息：有个人分了素数定理一杯羹。一位名叫查尔斯·德·拉·瓦莱 - 普桑的比利时数学家也同时宣布自己证明了高斯素数猜想。阿达马和德·拉·瓦莱-普桑取得的伟大成果，拉开了一段艰苦漫长的征程之序幕。一直到 20 世纪，数学家们还在前仆后继地踏上这段漫漫征程，去探索黎曼开拓的那片图景。“万事俱备，只欠东风”，阿达马和德·拉·瓦莱-普桑已经搭建好了大本营，就等着人们向着临界线攀登了。也正是从那时起，这一问题开始担起其应有的角色：一座高不可攀的数学珠峰。不过出人意料的是，证明这个问题有赖于 ζ 函数图景上的那些最低点。鉴于高斯素数定理已经尘埃落定，是时候让黎曼提出的那个伟大问题，从他那篇密密麻麻的 10 页论文里走出来，登上素数的历史舞台了。正是另一位名叫大卫·希尔伯特的哥廷根数学家，发现了黎曼隐藏在那篇论文里的智慧光芒，并将其呈现于世人面前。这个魅力四射的数学家，在 20 世纪发起了一场声势浩大的运动，促使数学家们纷纷卷入摘取黎曼假设这个终极大奖的热潮中。
本文摘自《悠扬的素数》，【英】马库斯·杜·索托伊（Marcus du Sautoy）著，柏华元 译，人民邮电出版社2019年8月出版。
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