学不好数学？别辜负你与生俱来的数感！

2023-07-26 07:07

你可以喜欢弹钢琴而不必成为莫扎特。你可以爱上数学而不必成为爱因斯坦。不要害怕。你弹得越多，就越会有自己的品味；数字的音乐也会让你的精神得到愉悦。

《数学的雨伞下：理解世界的乐趣》，[法] 米卡埃尔•洛奈（Mickaël Launay）著，欧瑜译。

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为了测试你的数字直觉，我提议做个小实验。看看图 1.7 中这条线，上面标有两个数：一千和十亿。

现在，试着以最为直觉的方式回答以下问题：在这根刻度线上，你会把一百万放在什么位置上？不要害怕犯错，没有错误的答案，重要的是了解你的直觉对大数的感知。

好了，你已经把手指放在你认为可以代表一百万的位置上了吗？那么，现在就让我们来看看可以对此做出怎样的解释吧。

在看完问题之后，你的思维很可能经历了几种状态。在看到问题的那一刻，你的脑中可能会出现一种直觉——一种未经分析的原始想法。接着，你的想法一点一点地完善。你回想起自己对千、百万和十亿的了解，于是，你的光标或许移动了一点儿。又或许移动了很多？向左移还是向右移？你或许还考虑到了我们之前说过的那些话。你或许会觉得这个问题问得不够精确，里面肯定藏着什么陷阱。你是从加法的角度还是乘法的角度去思考的呢？在这种情况下，这种思考方式是否改变了什么？

每个人对这个问题都会有自己的思路，但最常见的反应之一就是，在视觉上把一百万放在大致介于一千和十亿之间的中位上，或是中间略微偏左的位置上，因为你可能会很快意识到，一百万更接近一千而不是十亿。之后，随着思考的继续，你的光标就会越来越向左移动，直到一个足够接近一千的位置。

那么，真实的情况是怎样的呢？答案可能令人惊讶，但一百万跟一千紧紧贴在了一起（图 1.8）。在这根线的比例下，两个数几乎难以用肉眼加以区分，如果在左边再加上零，那么零和这两个数就几乎是浑然一体的。

当然了，理论上，一百万是一个大数，但必须承认，十亿又比一百万大了一千倍！在这个规模上，就连一百万也看起来很小。如果你处在零的位置上，十亿处在距离你一千米的位置上，那么一百万就会处在距离你只有 1 米的位置上，而一千就会处在距离你只有 1毫米的位置上。因此，从远处看，零、一千和一百万就会像是聚集在一起一样。

但是，就像月球和地球之间的距离，对传统数学的这一判断也与直觉相悖。注意，如果把这些数写成阿拉伯数字，那么一百万似乎就很有可能落在一千和十亿之间的中位上：

一千：1000

一百万：1 000 000

十亿：1 000 000 000

一百万比一千多三个零，比十亿少三个零。从视觉上来说，如果关注的不是数的值，而是数的书写长度，那么我们就会很容易把一百万放在中间的位置上。记数系统的本性使得我们倾向于用乘法的模式去思考。如果这些数是用罗马数字书写的，或者我们只是把一些小棒次序排列成行，视觉印象就会完全不同。在我们的单位体系（几十、几百等）中，加一个零会导致写出的数乘以十，从而造成加法和乘法的混乱。

因此，如果我们在一根依照乘法模式运作的轴线上标记数，那么一百万就会位于正中间（图 1.9）。左边和右边一样，乘法的差距都为一千。

奇怪的是，这种大数的现象在更为常见的数量上并不明显。如果我让你把 50 放在一根从 1 到 100 的轴线上，你会毫不犹豫地把它放在正中间。

必须承认，法语中的这些数词本身就露出了加法和乘法相冲突的马脚。前几个整十数，每个都有一个对应的词：二十（vingt）、三十（trente）、四十（quarante）……每个词之间的差都是加法的差距，每向后推进一个数就加 10（图 1.10）。

直到 100，法语都是在做加法。相反，一旦超过 100，我们就会转入乘法的世界。法语中没有专门的词语来指称 200 或 300，只会表达为“两个一百”或“三个一百”。有点像是把 20 和 30 说成“两个十”和“三个十”，而不是“二十”和“三十”。于是，再往后的数词就以乘法的节奏出现：千（mille）、百万（million）、十亿（milliard）、万亿（billion）、千兆（billiard）……后一个词都比前一个词大一千倍（图 1.11）。

如果我们把这些数放在一根经典的加法轴线上，则所有的数都会聚集在零的位置上，而且与最后一个数相较会显得小之又小。十亿与万亿相比微不足道，而万亿与千兆相比又小得可笑，依此类推。在学校里学习数的时候，几乎没人注意到法语计数词汇中的这种转变。但是，这种转变却深刻地影响了我们的思维方式。我们对数量的认识既不是天生的，也不是客观的。这种认识与我们学习数学的方式密切相关。

那么，是否有可能暂时忘却我们在知识和文化上的差异，回到我们对数的最初的认识上呢？如果没有从小面对已有的数字结构，我们又会怎样去思考呢？

为了找到答案，我们可以向那些没有接触过这些知识的人提出问题，这会是一件很有趣的事情。我们可以问问那些年纪尚小，还未深入学习过数的孩子。我们还可以问问那些与世隔绝的原住民，因为他们与数的关系和我们与数的关系迥然不同，他们不会具有我们的条件反射和先验知识。

在 21 世纪初期，多个研究团队展开了不同的实验以便找到这个问题的答案。这些测试和刚才我让你做的那个关于百万的测试非常相似，美国的低龄儿童和居住在巴西北部亚马孙雨林中的蒙杜鲁库人接受了这些测试。

在蒙杜鲁库人的语言中，没有词语用来指称大于“五”的数，这就使他们对数量的认知和我们对数量的认知完全不同。研究人员把一根轴线放在受试个体的面前，轴线的两端对应两个数。研究人员让受试者每次把一个不同于这两个数的其他数放在这根轴线上。

当然了，这些数必须用一种从未学习过数学之人可以理解的形式来表示。测试采用了几种不同的方法，比如视觉方法，使用包含多个点的图像；或是听觉方法，使用一系列哔声。在受试者了解游戏规则之后，测试就可以开始了。

测试的结果是一致的，没有争议：儿童和蒙杜鲁库人对数的认识是直觉式的，乘法思维胜过了加法思维。例如，蒙杜鲁库人是这样把 1到 10 的数放在轴线上的（图 1.12）。

当然了，这种做法并非无懈可击，因为测试的直觉性太强，而且很难在直观上很好地估计点的数量。我们可以看到，平均而言，在测试中，5 被放在了稍稍后于 6 的位置上！但这个错误并不重要。重要的是，我们看到小数是如何在轴线前端“阔绰”地排开的，而大数却集中在轴线的末端，就好像 1 和 2 这种小数要比 8 和 9 这种大数更加重要。小数宽松落座，而大数则不得不摩肩接踵。

另外，你不觉得这种数的分布和本福特定律颇为相似吗？这只是一种巧合，还是有些事情需要我们去弄个清楚？目前，两者之间的联系尚不明确，但让我们先记下这一点，之后我们还会回到这个问题上来。

所有已经做过的这一测试的变形版都证实了这种趋势，其中包括数大到 100 的针对儿童的版本。例如，在一根 1 到 100 的轴线上，儿童常常会把 10 放在大致居中的位置上（图 1.13）。如果我们以乘法思维想到 10 的确位于 1 和 100 的中间，那么这一结果就会让人感到惊讶。

要是我们再进一步呢？

在 20 世纪，多项实验表明，在人类范畴之外对这种数的认知追根溯源是有可能的。我们可以在智人以外的其他物种的大脑中追踪到这种认知。

如果只是为了估算需要积攒多少食物，或是为了生存需要避开多少捕食者的话，那么很多动物都拥有对数量的天然意识。与人类对数的意识相比，动物的这种意识是粗略而有限的，但令人惊讶的程度毫不逊色。

针对动物的实验方案以及对所得结果的阐释要微妙得多，而且对结果的研究必须十分谨慎。我们无法和马、鸟雀或黑猩猩进行明确的交流，无法向它们详细地解释实验规则，也无法让它们理解自己所做之事有什么目的。但是，一些事实却令人惊讶，而且，某些动物似乎也是以乘法思维看待数的。

比如在一个对小鼠进行的实验中，几只样本小鼠被放在几只装有两根压杆的笼子里。随后，研究人员让小鼠定期听到一系列哔声。有时是两声，有时是八声。在哔声只响两次时，小鼠按压第一根压杆会获得食物奖励。在哔声响八次时，小鼠按压第二根压杆会获得食物奖励。经过一段时间的学习，这些啮齿动物最终理解了这一原理，并学会了根据哔声的鸣响次数去按压正确的压杆。

一旦小鼠理解了压杆的运作机制，真正意义上的实验就可以开始了。如果我们让小鼠听到鸣响次数并非二或八的哔声会发生什么呢？在听到三次哔声时，小鼠经过短暂的犹豫就转向了第一根压杆，就像听到两次哔声时那样。在听到五次、六次或七次哔声时，小鼠会像听到八次哔声那样转向第二根压杆。但是，在听到四次哔声时，小鼠就完全不知所措了！一半的受试小鼠犹豫着转向第一根压杆，而另一半小鼠则转向第二根压杆。就好像对于它们来说，4 介于 2 和 8 之间，这使得它们的选择变成了完全随机的。

你可能已经猜到了即将得出的结论：4 位于 2 和 8 的中间是出于乘法思维。如果小鼠进行了加法的推理，那么 5 就应该成为它们犹豫的临界点。但是，让它们产生困扰的却是 4（图 1.14）

研究人员用 2 和 8 以外的数针对小鼠以外的动物进行了相同的实验。当然了，我们很难知道这些小动物的脑袋瓜里到底发生了什么，而实验结果有时会出现很大的误差。但可以确定的是，每一次它们的犹豫都更多地发生在乘法而非加法的思维语境中。

回溯人类大脑如何对数形成概念，我们不可避免地得出了同样的结果：人类对数量最初的意识——就其本质而言——似乎就是乘法的。

然而显而易见的是，无论是人类还是动物，其大脑都无法在没有学习过的情况下进行精确计算，来回答这些问题。乘法思维既不是有意识的，也不是精确的。这些结果是自发性和直觉性的，有点儿像你把一百万放在一千和十亿的正中间时那种第一直觉。它们没有证明一种数学知识，而只是揭示了一种显然是天生的大脑机制，我们在生命之初就具备了这种机制，它给了我们一种近似乘法的最初的数字直觉。

针对美国成年人进行的类似测试清楚地表明，随着在学校里习得的数学知识变多，乘法直觉逐渐变得模糊。对于从 1 到 10 的这些数，成年人会完全遵照加法的梯度排列。但是，乘法本能并没有完全消失，它会在我们面对不那么熟悉的大数时，渐渐重新浮现出来。

因此，加法计数并非那么自发，它终究不过是童年时期养成的一种习惯。在 1938 年的那篇文章中，弗兰克·本福特写道：“我们如此习惯于将事物计为 1、2、3、4……然后说它们是以自然顺序排列的，因此，1、2、4、8……可能是一种更为自然的排列，这一观点不那么容易被人接受。”

你自己，也就是正在阅读这段话的人，或许依旧很难承认这一点。经过多年对这种思维模式的锤炼，我们很难摆脱加法量级。如果真是这样，你不必试图去摆脱这种思维模式，再继续读几页，不要担心，放开胆，让自己的思维信马由缰。你会发现——或重新发现—— 一种全新的思维方式是多么令人兴奋。

但有时会出现一个问题。如果我们最初的直觉是乘法式的，而且这种乘法直觉更适合于思考周围的世界，那么为什么我们要竭尽所能把它从自己的思维中去除掉呢？为什么硬是要让一种和现实没那么相宜的加法思维进入我们头脑中呢？学校里的数学是否让我们脱离了一种适切的常识，并用一种人为的且不适合的思维取而代之了呢？我们是否应该对加法思维弃而不用？

回答是否定的。加法思维，就其本身而言，不可弃之不用。坦率地说，它在很多情况下都非常有用。下一次在超市结账的时候，你肯定会为小票上的金额没有采用乘法来计算而感到高兴。另外，尽管还是说了那么多，但也许没有必要去说服你，加法和减法在我们的日常生活中依然随处可见。可能没有你想象的那么常见，但也足够寻常。

此外，乘法本身也需要加法。因为就算我们的直觉大致上是乘法式的，但这并不意味着乘法的数学就更容易理解。没有接受过数学教育，就不可能发展出这种最初的思维以使其发挥最大的潜能。为此，好好领悟加法的概念乃是根本所在，这样才能深入理解乘法的概念。那么最后，什么才是比较两个数字的最佳方法呢？

这个问题没有绝对和确定的答案，要视具体情况而定。有的时候，我们很难做出选择。存在一些模棱两可和介乎两者之间的情况，没有最好的选择一说。加法和乘法只是提供了两种不同但互补的数字视角。这种看法可能会被认为是一种失败。

说到底，难道数学不应该提供精准而确定的答案吗？一种确切的科学怎么能用“视具体情况而定”来回答问题呢？在这种表面的悖论之下，隐藏着数学创造性的所有模棱两可之处。在这些模棱两可之处中有着数不清的“视情况而定”。正是它们让数学成了一块自由与创造的神奇之地。数学是多样的，是多彩的，是相对的，幸甚，幸甚。

接受这种相对性并学会利用它，是发现和创新令人狂喜的不竭源泉。数学为我们提供了用来解决同一问题的上千种不同工具。这些工具就像钢琴的琴键。了解它们就是认识唱名，知道如何弹奏它们就是一门艺术。问比较两个数字是用加法好还是用乘法好，就像是在问作曲用 G 大调好还是用 a 小调好。做出你自己的选择。这些选择可能并不总是最好的，但这无关紧要。