没有什么不能用数学表达教育2022-04-27 01:04 这是郝景芳的闲聊自留地,关不关注请随意~~数学是一种语言。数学是宇宙世界使用的语言,唯一的语言。我们什么时候找到一件事的底层数学语言,就算是能真正理解这件事,否则就是不理解。小的时候我也不懂这个道理,我以为数学是人类发明的一种工具,用来描述这个世界。当时我还想,数论这些人为什么这么着迷研究一些数学问题?反正是人类定义的规则,把定义改改不就变了吗。但长大以后才明白:数学是世界的底层原理,世界万物只是表象。(1)数学是简单的先给大家讲一个小故事。还记得2020年时,童行书院做《时空之旅》App的教研,第10单元要讲微积分,我们的教研老师做了一版教研稿,当时她们是中规中矩按照教科书和网络上查到的资料写的,介绍了定义、历史发展和重要数学家。语言类似于百度百科对微积分的定义:“微积分(Calculus),数学概念,是高等数学中研究函数的微分(Differentiation)、积分(Integration)以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科,内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算,是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学,包括求积分的运算,为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。”我说这太难太枯燥了,6岁小孩看不懂,教研老师说:微积分本来6岁小孩就没法懂。我说:微积分就是直尺量曲线,6岁小孩怎么不能懂?!后来我们就做了一个小游戏,让小朋友尝试用一把直尺量曲线,以此理解微积分思想,小孩子都能玩通关。我女儿说:微积分也挺容易的嘛。很久以后,当我在一个餐桌上跟其他人笑谈这段往事,桌上的一位女士恍然大悟地说:微积分就是直尺量曲线吗?你这么一说我好像有点明白微积分了,那么,直尺量曲线该怎么量呢?我说:你自己想想啊,你觉得怎么量?她想了想说:一小段一小段量,再加起来?我说:对咯!恭喜你推导出了微积分!分成小段,叫微分;加起来,叫积分。她说:所以,那一小段得特别小。我说:对咯!这叫求极限,微分就是无限小。她说:我今天才明白!原来是这样。我说:是啊,你看你自己都能推导明白。所有微积分,都是某种形式的“直尺量曲线”,只是算的东西千变万化。微积分是一种思想,是可以把一个大问题分拆到一个极为微小的局部,把局部算出来,再加总为整体。其余的都是计算技巧。很多数学,其实都是思想方法。微积分是“直尺量曲线”,这是最直观的数学概念。它的实际思想是把大问题拆分为小问题,再加总得到大问题的答案。这个思想能解决很多问题。不仅对物理问题有用,对于我们在生活里思考问题都有帮助。有时候,我们的学校并不太重视数学基础概念的理解,直接做题,于是很多学生还没有完全理解数学概念,先开始做题,就陷入云里雾里,觉得数学好难好难啊。其实,数学概念本身是简单的。很多数学都是为了把这个世界更清晰地表达出来,并且发现其中的终极规律。如果发现了,带着数学规律去看世界,会发现千变万化的世界也变得简单清晰了。(2)万事皆可数学给别人讲过这个微积分的故事之后,有人问我,那线性代数怎么理解呢?我说:线性代数就是你找男朋友的分数对比。这是什么意思呢?其实,线性代数处理的就是多维度向量问题。那什么是维度和向量呢?维度,就是你找男朋友要看的几个标准,例如:长相、身高、智商、家庭条件等等。维度必须要求是“正交”的,也就是相互之间不能有相关性。例如“家庭条件”和“慷慨程度”就是有相关性的,家里太穷肯定没法慷慨,这就不能算成是两个维度。“智商”和“毕业院校”也是有相关性的,也不能算是两个维度。“长相”“智商”和“家庭条件”基本上是各自独立的因素,就可以算是维度。向量是什么呢?就是你给男朋友候选人打的分数。例如长相=7分,身高=8分,智商=5分,家庭条件=9分,人品靠谱=3分,做家务=1分,对你的感情=5分,那么向量就是:候选人1= [7, 8, 5, 9, 3, 1, 5]如果有另一个候选人,候选人2= [4, 6, 9, 2, 9, 7, 8]那这样两个候选人该怎么比较呢?能把分数直接加总,算总分吗?我们知道,相互正交的维度数值是不能直接相加的。例如长方形的长和宽,不能直接相加算大小。但是我们可以定义一个“长度”,就是把每个数值平方相加开根号,这就能算是“向量长度”,也叫“内积”,也就是你的两个男朋友候选人的总分。算一下就知道:候选人1 = 15.9分候选人2 = 18.4分现在看到候选人2分数高,是不是说明你就想选择候选人2呢?很可能不是。你还是觉得自己被候选人1深深吸引,即使明知道他不靠谱,对自己也不够爱,但就是觉得被他的某种莫名的魅力深深吸引,于是怎么都不肯和候选人2在一起,偏偏要爱候选人1。那是为什么呢?原因在于,你在选择的时候,“人品靠谱”和“做家务”这两个维度,你心里觉得是不重要的,甚至智商也不太重要,反正你看到的这个人的慷慨和风度,主要来源于他家庭,也不是他自己的本事,但这些你都忽略不计了。于是,你内心中的真正向量是四个维度:[长相,身高,家庭条件,对你的感情]这么一算,两个候选人的打分就不一样了:候选人1= [7,8,9,5]候选人2= [4,6,2,8]谁高谁低,就一目了然了。你心目中所有衡量维度组成的空间叫“内积空间”,你就是在自己的内积空间里给每个候选人打分,再比较分数。最初7个维度的内积空间叫7维空间,后来经过一番思考,发现你真正在乎的只有四个维度:高富帅+爱你,所以你心里的内积空间是4维空间。当你从一开始心里的内积空间就没有“靠谱”这个维度的时候,遇见渣男也就不足为奇了。这是你自己的空间,过滤进来的就有大量不靠谱的人。其实,一个人是否优秀,完全看你怎么衡量。优秀都是在特定的内积空间衡量的,你的内积空间,就代表着你的价值观。我自己的内积空间一直只有 [智商,靠谱] 两个维度,其他都不重要,所以这么多年从来没遇到过又蠢又坏的男朋友。(3)疫情会好吗?其实疫情很大程度上是可以数学化的。不管是什么病毒,基本指标只有“传播率”和“致死率”两个指标,而这两个指标通常是相关的,成反比的关系,因此,基本上用“传播率”这个指标就可以衡量。传播率R0,就是一个感染者在一个时间周期内能够传染几个人。最早的新冠病毒,R0大概是2左右;后来的德尔塔,R0大概在3-4范围;最近的奥密克戎,有很多专家测定R0=9.5(当然这个测定也有可能偏高,也有人说在6-8)。我们可以做一个很简单的小学数学题:如果人群正常活动,1个感染者一天可以传染10个人,那么为了让病毒传播势头降下来,每日新增不增加,应该把正常活动降到平时的几分之几?粗略估算就能知道,需要降到正常活动的1/10。也就是说,只能通过把感染者遇见的人减少90%,才能遏制病毒传播。在这里就有一个速度问题:当城市感染者少,可以通过快速隔离感染者,将感染者遇到的人减少90%,但当城市感染者快速大量增加(到一定阈值),以至于没办法快速把所有感染者都立刻隔离起来,那就只能将整个城市的活动减少90%才能遏制传播。对于超大城市,整个城市的活动减少90%必然伴随很强的生活危机。这里的问题在于,这个“阈值”到底是多少?有人说是日增1000以上,有人说是累积10000以上。还不确定。其他城市目前不能嘲笑上海,因为其他城市做得好,都因为没有到达这个阈值。这次上海事件只是数学上能算得出的必然情形。即使这次上海疫情完全得到控制,以后问题仍然没有解决,同样的情况永远都会出现。要么就是疫情监测常态化,而经济活动随时被叫停,要么就得有其他应对疫情爆发的方法。否则,疫情防控状态我们就要保持10年、15年、20年。希望早日让有效疫苗普及化,希望早日建立更好危重症病人处理方案和资源,希望能以灵活而专业的态度处理未来的危机事件,希望正常的经济社会生活不受影响,希望人与人之间的人道主义同情永远是核心准则,希望每一次的危机事件,都真正让我们吸取经验,未来越做越好。最后,希望所有大朋友小朋友,都爱上数学。——————————————————————————————————今天中午,我会在直播间跟一位北大数学博士聊聊孩子的数学教育,尤其是家长最关心的孩子的数学启蒙问题,重点是常见的数学启蒙误区。欢迎围观! 微信扫码关注该文公众号作者戳这里提交新闻线索和高质量文章给我们。来源: qq点击查看作者最近其他文章