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没有什么不能用数学表达

没有什么不能用数学表达

教育
这是郝景芳的闲聊自留地,关不关注请随意~~

数学是一种语言。
数学是宇宙世界使用的语言,唯一的语言。我们什么时候找到一件事的底层数学语言,就算是能真正理解这件事,否则就是不理解。
小的时候我也不懂这个道理,我以为数学是人类发明的一种工具,用来描述这个世界。当时我还想,数论这些人为什么这么着迷研究一些数学问题?反正是人类定义的规则,把定义改改不就变了吗。
但长大以后才明白:数学是世界的底层原理,世界万物只是表象。


(1)数学是简单的
先给大家讲一个小故事。
还记得2020年时,童行书院做《时空之旅》App的教研,第10单元要讲微积分,我们的教研老师做了一版教研稿,当时她们是中规中矩按照教科书和网络上查到的资料写的,介绍了定义、历史发展和重要数学家。语言类似于百度百科对微积分的定义:
“微积分(Calculus),数学概念,是高等数学中研究函数的微分(Differentiation)、积分(Integration)以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科,内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算,是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学,包括求积分的运算,为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。”
我说这太难太枯燥了,6岁小孩看不懂,教研老师说:微积分本来6岁小孩就没法懂。
我说:微积分就是直尺量曲线,6岁小孩怎么不能懂?!
后来我们就做了一个小游戏,让小朋友尝试用一把直尺量曲线,以此理解微积分思想,小孩子都能玩通关。我女儿说:微积分也挺容易的嘛。


很久以后,当我在一个餐桌上跟其他人笑谈这段往事,桌上的一位女士恍然大悟地说:微积分就是直尺量曲线吗?你这么一说我好像有点明白微积分了,那么,直尺量曲线该怎么量呢?
我说:你自己想想啊,你觉得怎么量?
她想了想说:一小段一小段量,再加起来?
我说:对咯!恭喜你推导出了微积分!分成小段,叫微分;加起来,叫积分。
她说:所以,那一小段得特别小。
我说:对咯!这叫求极限,微分就是无限小。
她说:我今天才明白!原来是这样。
我说:是啊,你看你自己都能推导明白。所有微积分,都是某种形式的“直尺量曲线”,只是算的东西千变万化。微积分是一种思想,是可以把一个大问题分拆到一个极为微小的局部,把局部算出来,再加总为整体。其余的都是计算技巧。


很多数学,其实都是思想方法。微积分是“直尺量曲线”,这是最直观的数学概念。它的实际思想是把大问题拆分为小问题,再加总得到大问题的答案。这个思想能解决很多问题。不仅对物理问题有用,对于我们在生活里思考问题都有帮助。
有时候,我们的学校并不太重视数学基础概念的理解,直接做题,于是很多学生还没有完全理解数学概念,先开始做题,就陷入云里雾里,觉得数学好难好难啊。
其实,数学概念本身是简单的。很多数学都是为了把这个世界更清晰地表达出来,并且发现其中的终极规律。如果发现了,带着数学规律去看世界,会发现千变万化的世界也变得简单清晰了。

(2)万事皆可数学
给别人讲过这个微积分的故事之后,有人问我,那线性代数怎么理解呢?
我说:线性代数就是你找男朋友的分数对比。


这是什么意思呢?其实,线性代数处理的就是多维度向量问题。那什么是维度和向量呢?
维度,就是你找男朋友要看的几个标准,例如:长相、身高、智商、家庭条件等等。
维度必须要求是“正交”的,也就是相互之间不能有相关性。例如“家庭条件”和“慷慨程度”就是有相关性的,家里太穷肯定没法慷慨,这就不能算成是两个维度。“智商”和“毕业院校”也是有相关性的,也不能算是两个维度。“长相”“智商”和“家庭条件”基本上是各自独立的因素,就可以算是维度。
向量是什么呢?就是你给男朋友候选人打的分数。例如长相=7分,身高=8分,智商=5分,家庭条件=9分,人品靠谱=3分,做家务=1分,对你的感情=5分,那么向量就是:
候选人1= [7, 8, 5, 9, 3, 1, 5]
如果有另一个候选人,候选人2= [4, 6, 9, 2, 9, 7, 8]


那这样两个候选人该怎么比较呢?能把分数直接加总,算总分吗?我们知道,相互正交的维度数值是不能直接相加的。例如长方形的长和宽,不能直接相加算大小。但是我们可以定义一个“长度”,就是把每个数值平方相加开根号,这就能算是“向量长度”,也叫“内积”,也就是你的两个男朋友候选人的总分。算一下就知道:
候选人1 = 15.9分
候选人2 = 18.4分
现在看到候选人2分数高,是不是说明你就想选择候选人2呢?很可能不是。你还是觉得自己被候选人1深深吸引,即使明知道他不靠谱,对自己也不够爱,但就是觉得被他的某种莫名的魅力深深吸引,于是怎么都不肯和候选人2在一起,偏偏要爱候选人1。
那是为什么呢?


原因在于,你在选择的时候,“人品靠谱”和“做家务”这两个维度,你心里觉得是不重要的,甚至智商也不太重要,反正你看到的这个人的慷慨和风度,主要来源于他家庭,也不是他自己的本事,但这些你都忽略不计了。
于是,你内心中的真正向量是四个维度:[长相,身高,家庭条件,对你的感情]
这么一算,两个候选人的打分就不一样了:
候选人1= [7,8,9,5]
候选人2= [4,6,2,8]
谁高谁低,就一目了然了。你心目中所有衡量维度组成的空间叫“内积空间”,你就是在自己的内积空间里给每个候选人打分,再比较分数。最初7个维度的内积空间叫7维空间,后来经过一番思考,发现你真正在乎的只有四个维度:高富帅+爱你,所以你心里的内积空间是4维空间。
当你从一开始心里的内积空间就没有“靠谱”这个维度的时候,遇见渣男也就不足为奇了。这是你自己的空间,过滤进来的就有大量不靠谱的人。
其实,一个人是否优秀,完全看你怎么衡量。优秀都是在特定的内积空间衡量的,你的内积空间,就代表着你的价值观。我自己的内积空间一直只有 [智商,靠谱] 两个维度,其他都不重要,所以这么多年从来没遇到过又蠢又坏的男朋友。


(3)疫情会好吗?
其实疫情很大程度上是可以数学化的。
不管是什么病毒,基本指标只有“传播率”和“致死率”两个指标,而这两个指标通常是相关的,成反比的关系,因此,基本上用“传播率”这个指标就可以衡量。
传播率R0,就是一个感染者在一个时间周期内能够传染几个人。
最早的新冠病毒,R0大概是2左右;后来的德尔塔,R0大概在3-4范围;最近的奥密克戎,有很多专家测定R0=9.5(当然这个测定也有可能偏高,也有人说在6-8)。
我们可以做一个很简单的小学数学题:
如果人群正常活动,1个感染者一天可以传染10个人,那么为了让病毒传播势头降下来,每日新增不增加,应该把正常活动降到平时的几分之几?
粗略估算就能知道,需要降到正常活动的1/10。
也就是说,只能通过把感染者遇见的人减少90%,才能遏制病毒传播。在这里就有一个速度问题:当城市感染者少,可以通过快速隔离感染者,将感染者遇到的人减少90%,但当城市感染者快速大量增加(到一定阈值),以至于没办法快速把所有感染者都立刻隔离起来,那就只能将整个城市的活动减少90%才能遏制传播。对于超大城市,整个城市的活动减少90%必然伴随很强的生活危机。


这里的问题在于,这个“阈值”到底是多少?有人说是日增1000以上,有人说是累积10000以上。还不确定。
其他城市目前不能嘲笑上海,因为其他城市做得好,都因为没有到达这个阈值。
这次上海事件只是数学上能算得出的必然情形。即使这次上海疫情完全得到控制,以后问题仍然没有解决,同样的情况永远都会出现。要么就是疫情监测常态化,而经济活动随时被叫停,要么就得有其他应对疫情爆发的方法。否则,疫情防控状态我们就要保持10年、15年、20年。
希望早日让有效疫苗普及化,希望早日建立更好危重症病人处理方案和资源,希望能以灵活而专业的态度处理未来的危机事件,希望正常的经济社会生活不受影响,希望人与人之间的人道主义同情永远是核心准则,希望每一次的危机事件,都真正让我们吸取经验,未来越做越好。
最后,希望所有大朋友小朋友,都爱上数学。


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今天中午,我会在直播间跟一位北大数学博士聊聊孩子的数学教育,尤其是家长最关心的孩子的数学启蒙问题,重点是常见的数学启蒙误区。欢迎围观!


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