The palace of Euclidean geometry (1. axioms and deduction)
金碧辉煌的圣殿（1、支柱和逻辑体系）
不知什么原因，WXC中最近多处讨论现代科学技术为什么没有在中国出现的问题。各方网友从多个角度去探讨，比如历史、科学史、文化传统、思维方式，乃至人种等。而我，却愿意从一个具体的层面去看这个问题，那就是for some reason，中国未能产生系统的数学和与之相关的逻辑体系，使得实证科学未能发展起来。
在中国，人们常把数学归类于科学。实际上数学就是数学，Mathematics is not a part of Science. 数学是科学之母。数学的逻辑体系使得实证科学得以发展。
在2400年前，数学发展史上发生了一个大事件，就是古希腊数学家欧几里德（Euclid）结合前人的发现，创立了欧氏几何学。他写成的《几何原本》(“The Elements”)共13卷，从5条公理（axiom）为支柱，以演绎法（三段论）作为主要逻辑推断法，证明了465个命题（proposition）。建立起了一座几何圣殿。
作为这个盛典的支柱的5条公理是 —
**从一点向另一点可以引一条直线。
**任何线段都能向两边无限延伸成一条直线。
**任何给定的线段，均可以其一个端点为圆心，以该线段作为半径做一个圆。
**所有直角都相等。
**通过直线以外的一个点，存在且仅存在一条与该直线平行的直线。
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Euclidean geometry’s 5 self-evident axioms:
1. A straight line may be drawn between any two points.
2. Any terminated straight line may be extended indefinitely.
3. A circle may be drawn with any given point as center and any given radius.
4. All right angles are equal.
5. For any given point not on a given line, there is exactly one line through the point that does not meet the given line.
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【后来，数学家发现最后一条平行线公理可以作为一种选择，而不当作必然的几何真理，进而发展出全新的与日常空间经验不同的非欧几何（non-Euclidean geometry），这完全是另一个话题。】
《几何原本》的意义不仅仅在于它阐述的几何命题，更在于它的严密的逻辑体系，这为数学的其他分支（如代数、数论、解析几何等）的发展打下了坚实基础，也为以后科学技术的发展创造了条件。欧氏几何显示了理性思维的力量，使得后世真理追寻者都力图效仿这样的理论体系，比如经典力学和相对论，都是从几条基本原则或定律演绎出来的体系。
《几何原本》在数学史乃至人类思想史上有着无比崇高的地位。《几何原本》是发行最广、使用时间最长的书，共有二千多种不同文字的版本。它的印刷量仅次于《圣经》。
为什么以演绎、归纳、反证等为手段的理性思维极端重要，我们可以以Pythagorean theorem （毕达哥拉斯定理，勾股定理）的证明来说明一下：中国古代的数学书《周髀算经》记述了“勾三股四玄五”，即在直角三角形中，如果两直角边长分别是3和4的话，斜边长为5。这是毕达哥拉斯定理的一个特例，即32+42=52， 但如果没有一个几何的逻辑体系，要得到a2+b2=c2的一般证明，或轻易发现勾股数（如5-12-13，8-15-17，等等）都是做不到的。毕达哥拉斯定理有几百种证明法。我们看一看基于公理体系的欧几里得证明 —
假定ΔABC是直角三角形，角A为直角。要证明该定理，就该图来说，就是证明不论是怎样一个直角三角形，两个直角边做成的正方形（蓝色和粉色），其面积之和等于斜边做成的大正方形。
首先，通过5条公理，经过不复杂的工作，我们可以得到：1. 基于SAS的三角形全等定理；2.如果一个三角形与一个矩形同底同高，则面积为其一半。上面两条作为定理，是基于公理的“真理”，也是进一步证明其他真理（这里是毕达哥拉斯定理）的前提。
我们做3条辅助线：自A点向BC作垂线，交BC于K。延长AK，延长线交DE于L。连接AD。连接CF。根据上面的定理（1）和图中三个正方形的事实，我们得出结论ΔEBC与ΔABD是全等的。下一步，根据上面定理（2），正方形ABFG的面积是2x ΔCBF的面积；同理矩形BDLK的面积是2x ΔABD的面积。于是就有突破了：既然两个全等三角形有相同的面积，那么ABFG的面积就一定与BDLK面积相同。同理，正方形ACIH的面积与矩形CELK相同 ……. 这样，毕达哥拉斯定理就得证了！
伽利略说“数学是上帝用来书写宇宙的文字。”只有当人类逐渐理解了这个“文字”以后。才可能开始更大规模地改造世界。按照科学史的一般说法，人类历史上共出现了三次重大的产业革命。第一次以蒸汽机、纺织机等为主体 ;第二次是以发电机、电动机、电话通讯等为主体技术 ;第三次的主体技术是计算机、原子能、自动化等。如果没有对数学真理的掌握和它高屋建瓴的参与，400年前开始的第一次产业革命绝不可能发生 …… 因此，现代科学技术未能出现在中国的直接原因，也就不言自明了。
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另：
我认为，人类目前或许正处于第四次技术革命的前夜，这次革命可能是以AI、生物技术、量子计算和量子通讯等为主导，而其中数学的作用一如既往地巨大。
此外，数学对人类精神世界的作用也是不容忽视的。它影响着人们的思维方式、世界观和艺术观。严谨的逻辑思维和严密的推理，反映是人类对真理的追求，这种追求实证的严谨思维，对于摈弃愚昧、减少盲从和打破思想束缚是十分重要的。
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