通俗易懂的 KMP 算法详解
提出一个问题，给你两个字符串 s 和 p（p 的长度不超过 s 的长度，且 s 和 p 都不是空的），问 s 中是否包含 p？
例如：
s=“hello, java”, p = “java”，那么 s 包含 p
s=“github”, p=“ppt”, s 不包含 p
能否写出一个程序高效地解决这个问题。
我们能容易想到这样的方法：
设置两个指针，i 和 j，都初始化为 0，我们对比 s 在 i 位置，p 在 j 位置的字符。如果 s[i] == p[j]，那么 i 和 j 都移到下一个位置。否则 j 回退到 0，i 回退到 1，继续上述过程，如果在下一次比较中，还是出现了不匹配的字符，那么 j 回退到 0，i 回退到 2，继续……，周而复始。直到某一次匹配中，如果 j 到达越界位置，那么 s 包含 p，否则 s 不包含 p。代码如下：
public class StrContains {public static boolean contains(String s, String p) {int ls = s.length(), lp = p.length(), i = 0, j = 0;while(i <= ls - lp) {int x = i;j = 0;while(j < lp && s.charAt(x) == p.charAt(j)) {++x;++j;}if(j == lp) return true;++i;}return false;}}
这样的查找方法，在遇到 s = “aaaaaaaaaaaaab”，p = “aab” 这样的情况的时候，会使得 p 只有在最后一次匹配的时候，才可以得到匹配。假设 s 的长度是 N，p 的长度是 M，那么显然的最坏情况下时间复杂度就是 O(N∗M)。而 KMP 算法能做到最坏情况下 O(N+M) 的时间复杂度。它是怎么做的呢？我们一起来看看吧。
为了便于说明 j 的调整，下面我们举一个明显的例子。请看字符串 s = “acacab”，和字符串 p = “acab” 的匹配过程。
那么如果已经匹配的部分有多个前缀和后缀是匹配的呢？我们怎么选择？请看 s = “aaaab” 和 p = “aaab” 的匹配过程。
我们在进行真正的匹配之前，我们要先计算好，每一个元素的 next 值（next 值的含义就是当前元素失去匹配的时候，它前面部分字符串的前后缀最大匹配长度，这个前后缀不包含自己），看下面对字符串 “caccacb” 的 next 值的定义过程：
如果我们在匹配之前，得到这么一个关于模式 p 的每一个位置 index 失去匹配后，模式串的匹配指针应该调整为 next[index] 的 next 数组的话，那么我们的匹配过程可以变成这样：
代码
public class StrContainsKmp {public static boolean contains(String s, String p) {int ls = s.length(), lp = p.length(), i = 0, j = 0;int[] next = getNext(p);//获取关于模式串p的next数组while(i <= ls - lp && j < lp) {if(s.charAt(i) == p.charAt(j)) {++i;++j;/*如果模式串p的第一个字符p[0]和字符串s的当前字符s[i]都不匹配，那么说明s中从i开始不可能匹配出p来，因此换下一个开头继续尝试*/}else if(j == 0) ++i;/*否则j位置不是0，说明它前面有匹配成功的部分，那么此时j应该调整为next[j]的位置*/else j = next[j];}return j == lp;}}
next 数组能加速匹配过程，可以从下面两个方面来理解：
保证 i 指针不回退，指导 j 指针的调整
跳过了一些无需验证的可能性
这两种理解是等价的。
next 数组正确性分析
求解 next 数组
既然 next 数组这么好用，我们如何快速得到它呢？
public class StrContainsKmp {public static boolean contains(String s, String p) {int ls = s.length(), lp = p.length(), i = 0, j = 0;int[] next = new int[lp];getNextArray(p, next);//获取关于模式串p的next数组while(i < ls && j < lp) {if(s.charAt(i) == p.charAt(j)) {++i;++j;/*如果模式串p的第一个字符p[0]和字符串s的当前字符s[i]都不匹配，那么说明s中从i开始不可能匹配出p来，因此换下一个开头继续尝试*/}else if(j == 0) ++i;/*否则j位置不是0，说明它前面有匹配成功的部分，那么此时j应该调整为next[j]的位置*/else j = next[j];}return j == lp;}private static void getNextArray(String p, int[] next) {int len = p.length();next[0] = -1;if(len == 1) return;next[1] = 0;//i: 当前要求解next[i]//cn: cn始终记录next[i - 1]的值int i = 2, cn = next[i - 1];while(i < len) {if(p.charAt(i - 1) == p.charAt(cn)) next[i++] = ++cn;else if(cn == 0) next[i++] = 0;else cn = next[cn];}}}
设字符串 s 的长度是 N，p 的长度是 M，我们看估计 contains 方法中 while 循环体的一共执行多少次。我们设置两个量，一个是 i，一个是 i−j，其中 i 的范围 [0,N]，i-j 的范围 [0,N]。
如果代码命中第 7 行的分支，那么会推高 i，但是 i−j 保持不变
如果代码命中第 15 行的分支，那么 i 和 i−j 都会被推高
如果代码命中第 21 行的分支，那么 i 保持不变，i−j 会被推高。
且在整个 while 的执行过程中变量 i 和 i−j 不会减小，那么这个 while 循环运行的结果就是把这两个变量不断推到最大值。可以知道这两个变量的最大值都是 N，因此 while 循环的执行次数不会超过 2N 次，因此时间复杂度 O(N)。
空间复杂度 O(N)。
测试程序
代码
import java.util.Random;public class StrContainsTest {public static void main(String[] args) {int times = 100_0000, maxStrLen = 1000;while(times-- > 0) {Random r = new Random();int len = r.nextInt(maxStrLen) + 2;String s = getRandomStr(r, len);String p;if(r.nextInt(2) == 0)p = s.substring(r.nextInt(len));else p = getRandomStr(r, r.nextInt(len) + 1);boolean ans1 = StrContains.contains(s, p);boolean ans2 = StrContainsKmp.contains(s, p);if(ans1 ^ ans2) {System.out.println("Oops!, wrong answer, ans1 = " + ans1 + ", ans2 = " + ans2);System.out.println("s: " + s);System.out.println("p: " + p);return;}System.out.println("Testcase: " + times + " done!");}System.out.println("Test done successfully!");}private static String getRandomStr(Random r, int len) {StringBuilder bd = new StringBuilder();while(len-- > 0)bd.append((char)('a' + r.nextInt(26)));return bd.toString();}}
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本文作者：victory
编辑&版式：Janson
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